不等关系PPT教学课件

•1．1不等关系•1．2比较大小•一、不等关系•在数学意义上，不等关系可以体现：•①________之间的不等关系；•②________之间的不等关系；•③________之间的不等关系；•④________之间的不等关系．•二、比较大小•1．任意两个实数a，b都能比较大小：•如果a－b0，那么⑤________；•如果⑥________，那么ab；•如果a－b＝0，那么⑦________.•友情提示：事实上，以上三组条件与结论反过来也是成立的.即a－b0⇔⑧________；a－b＝0⇔⑨________；a－b0⇔⑩________.•2．比较实数大小的方法．•比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a－b的⑪________(注意：这里指差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要)．•三、不等式的性质•1．若ab，则⑫________；•2．若ab，c0，则⑬________；•3．若ab，c0，则⑭________.•4．不等关系的传递性：如果ab，bc，那么⑮________.•友情提示：(1)要特别注意性质2、3中⑯________的符号，因为⑰________的符号相异，结论恰好相反．•(2)所有性质中的a和b可以是⑱________，也可以是⑲________.•答案：•①常量与常量②变量与常量③函数与函数④一组变量⑤ab⑥a－b0⑦a＝b⑧ab⑨a＝b⑩ab⑪符号⑫a＋cb＋c⑬acbc⑭acbc⑮ac⑯c⑰c⑱实数⑲式子•1.不等式与等式之间主要有哪些异同？•不等式与等式是生活、生产实践中最常见的关系式，其相异的性质主要在与数相乘时，不等式两边乘(除以)的数的符号不同时，结论不同；而等式则不然．等式与不等式的性质对比如下表：•2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及注意事项呢？•证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法．•(1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决：•①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系．②作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子，具有一定的局限性，作商后要与1进行比较，所以，作商后必须易于变成能与1比较大小的式子，此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较，例如，比较aabb与(ab)的大小就可以使用作商法．③在解决这些问题的时候，根据实际情况选择其中一种合适的方法，要根据题目的具体结构特点，如是和差的形式一般用作差法，乘除的形式一般用作商法．•(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论，或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符号．•(3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.•[例1]对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：•(1)若ab，则acbc；•(2)若ab，则ac2bc2；•(3)若ab0，则a2abb2；•(4)若ab0，则•(5)若ab0，则•解析：(1)因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题；•(2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才能正确．c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题；•变式：若ac2bc2，则ab，此命题是真命题；•(3)ab，a0⇒a2ab；ab，b0⇒abb2，命题是真命题；(4)由性质定理ab0⇒1a1b，命题是真命题；(5)例如－3－20，2332，命题是假命题．ab0⇒－a－b01a1b⇒－a－b0－1b－1a⇒abba.•[变式训练1]如果ab，则下列各式正确的是()•A．a·lgxlgx·b(x0)•B．ax2bx2•C．a2b2•D．a·2xb·2x•解析：对于A：当x0时，lgx∈R，当lgx≤0时，a·lgxb·lgx(x0)不成立，故应排除A；•对于B：∵x∈R，当x＝0时，ax2＝bx2，•∴ax2bx2不成立，故应排除B；•对于C：∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，又由ab可知a－b0，但是a＋b的符号是不确定的，因此a2b2不成立，故应排除C；•对于D：由指数函数的性质可知，2x0，•又∵ab，∴a·2xb·2x成立，故选择D.•答案：D•实数(或式)比较大小的依据是ab⇔a－b0；a＝b⇔a－b＝0；ab⇔a－b0(或a0，b0时，1⇔ab)．•方法步骤是作差(商)——变形——判断大于或小于零(大于1或小于1)．关键是变形，变形的目的在于便于判断正负．常见的变形有因式分解、配方等．•[例2]已知x1，比较x3＋6x与x2＋6的大小．•解析：∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6•＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)，•∵x1，∴(x－1)(x2＋6)0，∴x3＋6xx2＋6.•[变式训练2]设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．解析：∵x∈R，m∈R，∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)＝x2＋(2m－1)x＋(2m－12)2－(2m－12)2＋2m2＋1＝(x＋2m－12)2＋m2＋m＋34＝(x＋2m－12)2＋(m＋12)2＋120.∴x2－x＋1－2m2－2mx.•[例3]比较aabb与abba(a、b为不相等的正数)的大小．解析：作商得aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b.当ab0时，ab1，a－b0，所以(ab)a－b1；当0ab时，ab1，a－b0，所以(ab)a－b1.综上有aabbabba.•[变式训练3]若m0，比较mm与2m的大小．解析：注意到mm0,2m0，为了比较mm与2m的大小，采用作商法．当m＝2时，mm2m＝(m2)m＝(22)2＝1，此时，mm＝2m；当0m2时，(m2)m1，此时mm2m；当m2时，(m2)m1，此时mm2m.•[例4]已知a0，试比较a与的大小．解析：∵a－1a＝a2－1a＝a－1a＋1a，∵a0，∴当a1时，a－1a＋1a0，有a1a；当a＝1时，a－1a＋1a＝0，有a＝1a；当0a1时，a－1a＋1a0，有a1a.综上知：当a1时，a1a；当a＝1时，a＝1a；当0a1时，a1a.•[变式训练4]已知a，b均为正数，n∈N*，比较(a＋b)(an＋bn)与2(an＋1＋bn＋1)的大小．•解析：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)•＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1•＝abn＋anb－an＋1－bn＋1•＝a(bn－an)＋b(an－bn)•＝(a－b)(bn－an)，•∵a、b∈R＋，n∈N*，且n≥1，•∴①当ab0时，a－b0，bnan.•∴(a－b)(bn－an)0.•②当ba0时，a－b0，bnan.•∴(a－b)(bn－an)0.•③当a＝b0时，a－b＝0.•所以(a－b)(bn－an)＝0.•综上所述，(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0.•即(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn－1)．•[例5](一题多解)求证：⇒ab.•分析：本题可以用比较法证明；也可以用不等式性质得到证明．33ba证明：证法1：a－b＝(3a)3－(3b)3.∵3a3b，∴3a－3b0.3a2＋3ab＋3b2＝(3a＋12·3b)2＋34·3b2≥0.若b＝0，则3a3b＝0，(3a＋12b)20.∴3a2＋3ab＋3b20.∴a－b0，ab.证法2：若3b≥0，则3a3b≥0，(3a)3(3b)3，即ab；若3a≤0，则0≥3a3b，－3b－3a≥0，(－3b)3(－3a)3，即－b－a，ab；若3a03b，则(3a)30，(3b)30，即a0，b0，∴ab.综上知：ab.•[变式训练5]已知ab，cd，求证：a－cb－d.•证明：证法1：由ab知a－b0，由cd知d－c0，•∵(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)0，•∴a－cb－d.•证法2：∵cd，∴－c－d.•又∵ab，∴a＋(－c)b＋(－d)，即a－cb－d.•[例6]求下面题目中的取值范围．•(1)m－3；(2)m2；(3)－3m2.解析：(1)分－3m0；m＝0；m0讨论．当－3m0时，0－m3，－1m13，∴1m－13；当m＝0时，1m无意义；当m0时，1m0.综上所述，1m－13或1m0.(2)m2，∴01m12(注意隐含条件m0，故1m0)．(3)当0m2时，1m12；当－3m0时，0－m3，－1m13，∴1m－13.综上所述，1m12或1m－13.[变式训练6]下列四个不等式：①a0b；②ba0；③b0a；④0ba，其中能使1a1b成立的充分条件有________．解析：1a1b⇔b－aab0⇔b－a与ab异号，而①②④能使b－a与ab异号．答案：①②④•[例7]设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．•分析：本题是关于x的一元二次函数，可以利用换元法来求解．在求解时一定要注意已知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值范围，否则容易出错．下面我们再用一种新的方法——待定系数法来求解．解析：由已知得2≤f(1)＝a＋b≤4,1≤f(－1)＝a－b≤2，又f(－2)＝4a－2b.设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)·b.于是得m＋n＝4，m－n＝2，解得m＝3，n＝1.•∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．•∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，•∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.[变式训练7]如果30x42,16y24，求x＋y，x－2y以及xy的取值范围．解析：∵30x42,16y24，∴－48－2y－32，1241y116，∴30＋16x＋y42＋24，即46x＋y66，30－48x－2y42－32，即－18x－2y10.3024xy4216，即54xy218.•[例8]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()•A．甲先到教室B．乙先到教室•C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定•分析：用路程＝速度×时间，求甲、乙两人所用的时间，再用比较法求解．解析：设甲用时间为T，乙用时间为2t，步行速度为a，跑步速度为b(且ba)，距离为s，则T＝s2a＋s2b＝s2a＋s2b＝s×a＋b2ab；ta＋tb＝s⇒2t＝2sa＋b.∴T－2t＝sa＋b2ab－2sa＋b＝s×a＋b2－4ab2aba＋b＝sa－b22aba＋b0.故T2t.答案：B•[变式训练8]甲、乙两水果商先后分别两次从某地购进水果，甲商每次购20000斤，乙商每次购2万元，