2022版高考苏教版数学(江苏专用)一轮课件：第四章-第一节-任意角和弧度制及任意角的三角函数-

第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数必备知识·自我排查【基础知识梳理】1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着_____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向分为___角、___角、___角；按终边位置分为_____角、_____角．(3)与角α终边相同的角的集合：S＝{β|β＝__________________}．端点正负零象限轴线α＋k·360°，k∈Z2．弧度制(1)弧度角：把长度等于_____长的弧所对的圆心角称为__________．(2)度与弧度的换算：180°＝___rad，1°＝rad，1rad＝度．(3)扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0＜α＜2π)，则l＝____，S＝____．半径1弧度的角π180180Rα1R2l3．任意角的三角函数(1)终边与单位圆交点P(x，y)，sinα＝_；cosα＝__，tanα＝___(x≠0).(2)任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r＞0)，那么：sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___(x≠0).yxyxyrxryx三角函数值是以什么为自变量，什么为函数值的函数？它的三角函数值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？提示：三角函数就是以角α为自变量，以比值为函数值的函数，它的函数值不会随着点P在α的终边上的位置的改变而改变．4．三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sinα＝____，cosα＝____，tanα＝___．MPOMAT1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．若α∈(0，π2)，则tanα＞α＞sinα.3．象限角的集合5．特殊角的三角函数值1．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】选C.－870°＝－2×360°－150°，－870°和－150°的终边相同，所以－870°的终边在第三象限．2．(教材改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z).3．已知角α的终边过点P(8m，3)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B．12C．－32D．32【解析】选A.由已知得m＜0且8m（8m）2＋32＝－45，解得m＝－12.4．在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________．【解析】所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°＜0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°＜－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，所以β＝－675°或β＝－315°.答案：{－675°，－315°}考点突破·典例探究象限角与终边相同的角【典例1】(1)若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角(2)下列各角中，与角330°的终边相同的是()A．150°B．－390°C．510°D．－150°(3)与－2010°终边相同的最小正角是________．【解析】(1)选C.因为α是第二象限角，所以π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．(2)选B.与角330°的终边相同的角为α＝k·360°＋330°(k∈Z)，令k＝－2，可得α＝－390°.(3)因为－2010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2010°终边相同，故与－2010°终边相同的最小正角是150°.答案：150°规律方法1．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．2．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．3．求θn或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示．(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．【小积累】角α2与α所在象限的对应关系1．若角α是第一象限角，则α2是第一象限角或第三象限角；2．若角α是第二象限角，则α2是第一象限角或第三象限角；3．若角α是第三象限角，则α2是第二象限角或第四象限角；4．若角α是第四象限角，则α2是第二象限角或第四象限角．对点训练若角α的终边在函数y＝－x的图象上，试写出角α的集合为________________．【解析】方法一：函数y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，可以先在0°～360°范围内找出满足条件的角，再进一步写出满足条件的所有角，并注意化简．方法二：结合图象，α与135°相差180°的整数倍，由此写出集合．答案：{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}【加练备选·拔高】设θ是第三象限角，且|cosθ2|＝－cosθ2，则θ2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角，所以π＋2kπ＜θ＜3π2＋2kπ(k∈Z)，故π2＋kπ＜θ2＜3π4＋kπ(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，π2＋2nπ＜θ2＜3π4＋2nπ(n∈Z)，θ2是第二象限角，当k＝2n＋1时，3π2＋2nπ＜θ2＜7π4＋2nπ(n∈Z)，θ2是第四象限角，又|cosθ2|＝－cosθ2，即cosθ2＜0，因此θ2是第二象限角．弧度制、扇形的弧长及面积公式【典例2】(1)下列转化结果错误的是()A．67°30′化成弧度是3π8B．－10π3化成角度是－600°C．－150°化成弧度是－7π6D．π12化成角度是15°(2)已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是()A．2B．1C．12D．3(3)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．【解析】(1)选C.对于A，67°30′＝67.5°×π180°＝3π8，故A正确；对于B，－10π3＝－10π3×180°π＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150°×π180°＝－5π6，故C错误；对于D，π12＝π12×180°π＝15°，故D正确．故选C.(2)选A.设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，所以扇形面积S＝12lR＝R(2－R)＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1，当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度．(3)设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为2r，所以圆心角的弧度数是2rr＝2.答案：2本例(3)中，“该圆内接正方形的边长”变为“该圆内接正三角形的边长”，其他条件不变，结论又如何呢？【解析】设圆的半径为R，如图所示，OA＝R，OD＝12R，故AD＝R2－14R2＝32R，因此AB＝2AD＝3R，故该圆弧长度为3R，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为α＝3RR＝3.答案：3规律方法1．应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．2．求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．【知识拓展】扇形中弧所在的弓形的面积等于扇形的面积减去扇形中三角形的面积．对点训练(2021·南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(2)若α∈0，2π3，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．【解析】(1)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为ββ＝π3＋2kπ，k∈Z.(2)若α∈0，2π3，则S扇形＝12αr2＝12α，而S△AOB＝12×1×1×sinα＝12sinα，故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝12α－12sinα，α∈0，2π3.【加练备选·拔高】某市规划拟在如图所示的扇形土地上修建一个圆形广场．已知∠AOB＝60°，AB的长度为100πm，怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？【解析】如图所示，因为∠AOB＝60°＝π3，AB的长度为100πm，所以OA＝100ππ3＝300(m).由题意可知，当⊙O1是扇形AOB的内切圆时，广场的占地面积最大，设⊙O1与OA切于点C，连接O1O，O1C.则∠O1OC＝30°，OO1＝OA－O1C＝300－O1C，又O1C＝O1O×12，所以O1C＝(300－O1C)×12，解得O1C＝100m.故当⊙O1是扇形AOB的内切圆时，广场的占地面积最大，此时⊙O1的面积为π×1002＝10000π(m2).运用三角函数定义求值【典例3】(1)(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则sinβ＝________．(2)已知角α的终边与单位圆交于点(－32，－12)，则sinα的值为()A．－32B．－12C．32D．12(3)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求2sinα＋cosα的值．【解析】(1)方法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(22，1)，其关于y轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－22，1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝13，综合可得sinβ＝13.方法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sinβ＝sinα＝13.答案：13(2)选B.根据三角函数定义得sinα＝－121＝－12.(3)在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0)，则r＝||OP＝（4a）2＋（－3a）2＝5||a.当a＞0时，r＝5a，故sinα＝－3a5a＝－35，cosα＝4a5a＝45，所以2sinα＋cosα＝2×(－35)＋45＝－25；当a＜0时，r＝－5a，故sinα＝－3a－5a＝35，cosα＝4a－5a＝－45，所以2sinα＋cosα＝2×35＋(－45)＝25.综上所述，2sinα＋cosα等于25或－25.【备选例题】已知角θ的终边上有一点P(－3，m)，且sinθ＝24m，求cosθ与tanθ的值．【解析】由已知有24m＝m3＋m2，得m＝0，或m＝±5.当m＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；当m＝5时，cosθ＝－64，tanθ＝－153；当m＝－5时，cosθ＝－64，tanθ＝153.①已知角α的终边过点P(3a，－4a)(a≠0)，求角α的三个三角函数值．②已知角α的终边过点P(3，－4)，求角α的三个三角函数值．【