5.7-三角函数的应用-课件

人教2019A版必修第一册第五章三角函数5.7三角函数的应用1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．2．实际问题抽象为三角函数模型．学习目标提出问题现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．问题１某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位:s）与位移y（单位:mm）之间的对应数据如表5.7.1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．典例解析y=Asin（ωt+φ）现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等．物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ）,x∈［０，＋∞）其中A＞０，ω＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：归纳总结1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()达标检测A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时运动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时运动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零【解析】由题图可知，该质点的振幅为5cm.【答案】B2．与图中曲线对应的函数解析式是()A．y＝|sinx|B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|【解析】注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.【答案】C3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sint2(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的()A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]【解析】当10≤t≤15时，有32π5≤t2≤15252π，此时F(t)＝50＋4sint2是增函数，即车流量在增加．故应选C.【答案】C4．在电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)中，要使t在任意1100秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值．【解】由题意得：T≤1100，即2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.5.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出y＝Asinωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?【解】(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12h，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，∴b＝10，A＝13－10＝3，∴所求函数的表达式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．(2)由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y＝3sinπ6t＋10≥11.5，可得sinπ6t≥12，∴2kπ＋π6≤π6t≤2kπ＋5π6(k∈Z)，∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1，则13≤t≤17；而取k＝2时，25≤t≤29(不合题意，舍)．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16h.解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论．课堂小结