超静定结构与弯矩分配法

第一节超静定结构和静定结构的差别一、几何组成分析超静定梁：静定梁：有多余支座几何可变静定结构是没有多余约束的几何不变体系超静定结构是有多余约束的几何不变体系二、超静定结构的优缺点1.超静定结构的优点1）超静定结构在抵抗外荷载时具有较大的刚度。刚度：力在所作用点产生单位位移时所需的力。d1ddPKPK11静定梁超静定梁d1ddPKPK112)超静定结构与静定结构相比具有较低的应力连续性2.超静定结构的缺点连续性1）支座沉降会引起内力和变形可能导致超载超静定三跨连续梁支座B相对沉降对于超静定结构，可以导致结构变形的任何原因，如相对的沉陷、温度改变引起的杆件长度变化或者制造误差等，都会使整个结构产生内力。1、超静定结构是有多余约束的几何不变体系；2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还必须考虑变形条件；如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计算。再由M=∑MiXi+MP叠加内力图。如只考虑平衡条件画出单位弯矩图和荷载弯矩图，Xi是没有确定的任意值。因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。3、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征有关，即与刚度有关。荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内力重新选择截面。另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。小结：l/2l/2Pl/4PPPPPl/45、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较高的防御能力。6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小局部的内力幅值和位移幅值。PlP多余约束约束的存在，使结构的强度、刚度、稳定性都有所提高。μ=1μ=1/2第二节超静定结构的计算方法概述1.力法是将超静定结构的多余未知力作为首先解决的对象，通过把多余未知力计算出未成为已韧力以后，剩下的问题便可归结为静定结构的计算。2.位移法是通过向原结构中沿独立位移方向人为地添加约束，并引入未知位移作为首先解决的现象，当把未知的节点位移计算出来以后，剩下的问题就可以把杆件的杆端弯矩求出，又使问题成为静定结构的计算。3.有限元法或称结构矩阵分析。4.渐进法弯矩分配法的基本概念弯矩分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。一、转动刚度S：分配系数SAB=4i1SAB=3i11SAB=i二、分配系数设A点有力矩M，求MAB、MAC和MADCABDiABiACiADAM如用位移法求解：AABAABABSiM4AACAACACSiMAADAADADSiM3MMABMACMAD0AmAADACABSSSM)(AADACABASMSSSMMSSMAADAD于是可得MSSMAABABMSSMAACACMMAjAjAAjAjSS1三、传递系数MAB=4iABAMBA=2iABA21ABBAABMMCMAB=3iABA0ABBAABMMCMAB=iABAMBA=-iABA1ABBAABMMC在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。AlAB近端远端ABAAAB四、杆端弯矩:支座对靠近支座的杆件这一端的弯矩1.计算杆端弯矩的目的2.近端弯矩和远端弯矩3.杆端弯矩一律以顺时针方向为正固端弯矩：对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩，称为固端弯矩，用表示。MMM五、固端弯矩将每相邻两节点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座的单跨梁，这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固端弯矩。——基本运算ABCABCMBMBABC-MBBAMBCMABM0-MBBAMBCM)(BBABAMM)(BBCBCMM+=最后杆端弯矩：MBA=BAMMBC=BCMMAB=ABM然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号单结点的弯矩分配ABMBAMBCMBAMBCMABMBAMBCMBAMABMBCMBCBABMMM例1.用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1）B点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=mkN15086200mkN150mkN9086202MB=MBA+MBC=mkN60-150150-90（2）放松结点B，即加-60进行分配60ABC-60设i=EI/l计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数：571.0344iiiBA429.073iiBC0.5710.429分配力矩:3.34)60(571.0BAM7.25)60(429.0BCM-34.3-25.7-17.20+(3)最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图(kN·m)ABC=多结点的弯矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了MC’固定放松，平衡了-MC’固定固定放松，平衡了——渐近运算CB例1.用弯矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6.04.032132BCBA216131414CDCBSS333.0667.02111CDCB0.40.60.6670.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（kN·m）ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kN·m）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力68.256.4B124.6上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：020030240310CBCB(1)将上式改写成BCCB334.067.663.024(2)余数BCCB334.03.0(3)BC第一次近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08结果B=48.84C=-82.89精确值48.88-82.06MBC=4iBCB+2iBCC-100=6.92100)96.82(41284.484141）单结点弯矩分配法得到精确解；多结点弯矩分配法得到渐近解。2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。3）结点不平衡力矩要变号分配。4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）固端弯矩之和（第一轮第二、三……结点）固端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。弯矩分配法小结：0.2221114321ABCDFEB3.04.03.0BEBCBAC222.0333.0445.0CFCDCBmBA=40kN·mmBC=-41.7kN·mmCB=41.7kN·m0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3-13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5-0.7-0.50.150.150.2-4.651.65-0.250.0743.453.45-46.924.4-9.8-14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图)(mkN例2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFEABC1m5m1mEI=常数D50kN5/61/65025-20.8-4.2-20.8+20.8+50例3.带悬臂杆件的结构的弯矩分配法。50kN·mABMM/2ABC1m5m1mEI=常数D50kN4EI4EI2EI2EI用弯矩分配法计算，作M图。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓10kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(－20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.20MB=31.25－20.83=10.42MC=20.83－20－2.2=－1.370.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.09ABCEF－2.85结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(-20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.200.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.090.060.030.020.03－0.01－0.01－0.01M0－1.4227.80－24.9619.940.560.29计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中力偶(顺时针为正)↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i↓↓↓↓↓↓20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iμAG=0.5μAC=0.5μCA=0.4μCH=0.2μCE=0.4mkNmAG.1535.1202结点杆端ACEAGACCACHCECHmμ0.50.50.40.20.4－15对称结构的计算0.50.50.40.20.4－157.57.53.75－1.50－0.75－1.50－0.75－0.750.370.380.19－0.08－0.03－0.08－0.04－0.040.020.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmμM－7.117.112.36－0.78－1.58－0.79↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)例、求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。l1l2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABDCEI1I2↓↓↓↓↓↓↓qEBF解：取等代结构如图。设梁柱的线刚度为i1，i22i12i222iSBF21iSBE212iiiBF211iiiBE12)2(32121qllqmBE212iiii211iiBEBFμμBEBF212iiii211iim1221ql1221211qliii1221212qliii1221212qliii1221212qliiiM1221212qliii1221212qliiiM图i2i1i2i1ABDCEF当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i220i1),梁端弯矩接近于固端