6.第四节--全等三角形

目录1考点精讲2重难点突破3玩转安徽10年中考真题4核心素养提升思维导图返回目录全等三角形性质判定判定思路已知两边对应相等已知一边和一角对应相等已知两角对应相等第四节全等三角形返回目录考点精讲【对接教材】沪科：八上第14章P93－P116；人教：八上第十二章P30－P56；北师：七下第四章P92－P113第四节全等三角形返回目录【课标要求】◎理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；◎掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；◎掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；◎掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；◎证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；◎探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．第四节全等三角形返回思维导图返回目录全等三角形的对应边_____，对应角_____全等三角形的周长_____，面积_____全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等1._________________的两个三角形全等(简写成“SSS”2._______________________的两个三角形全等(简写成“SAS”)3._______________________的两个三角形全等(简写成“ASA”)4.____________________________________的两个三角形全等(简写成“AAS”)5._________________________的两个直角三角形全等(简写成“HL”)相等相等相等相等三边分别相等两边及其夹角分别相等两角其夹边分别相等两角分别相等且其中一组等角的对边相等斜边和一条直角边分别相等性质判定第四节全等三角形返回思维导图返回目录判定思路已知两边对应相等找夹角→SAS找直角→HL或SAS找另一边→SSS已知一边和一角对应相等边为角的对边→找另外一个角→AAS边为角的一边找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角对应相等找夹边→ASA找一角的对边→AAS第四节全等三角形返回目录重难点突破全等三角形的性质与判定例1如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE交于点O，且OB＝OC，连接AO并延长，交BC于点F.(1)求证：△ODB≌△OEC；【自主作答】例1题图第四节全等三角形返回目录【解题依据】此问用到的判定依据为：________________________________________________________________________两角分别对应相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等．例1证明：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ODB＝∠OEC＝90°，在△ODB和△OEC中，∴△ODB≌△OEC(AAS)；ODBOECBODCOEOBOC第四节全等三角形返回目录(2)求证：△AOD≌△AOE；【自主作答】【解题依据】此问用到的判定依据为：_______________________________________________________；(写出一种判定依据即可)斜边和一直角边分别对应相等的两直角三角形全等．(2)由(1)知，△ODB≌△OEC，∴OD＝OE，又∵∠ODB＝∠OEC＝90°，在Rt△AOD和Rt△AOE中，∴△AOD≌△AOE(HL)；OAOAODOE第四节全等三角形返回目录(3)求证：△AOB≌△AOC；【自主作答】(3)由(1)知，△ODB≌△OEC，∴BD＝CE，由(2)知，△AOD≌△AOE∴AD＝AE.∴AB＝AC.在△AOB和△AOC中，第四节全等三角形返回目录【解题依据】此问用到的判定依据为：____________________________________；(写出一种判定依据即可)三边分别对应相等的两三角形全等．∴△AOB≌△AOC(SSS)；ABACAOAOOBOC第四节全等三角形返回目录(4)求证：△ABE≌△ACD；【自主作答】(4)由(1)知，△ODB≌△OEC，∴BD＝CE，由(2)知，△AOD≌△AOE∴AD＝AE，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，第四节全等三角形返回目录【解题依据】此问用到的判定依据为：____________________________________________________．(写出一种判定依据即可)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两三角形全等．∴△ABE≌△ACD(AAS)．90BAECADCDABEAABAC第四节全等三角形返回目录模型分析模型展示有公共边有公共顶点第四节全等三角形返回目录模型特点所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合解题思路证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等第四节全等三角形返回目录例2已知点D，E是△ABC边BC上的点，且BD＝CE，过点E作EF∥AC，交AB于点F，过点D作DG∥AB，交AC于点G，交EF于点O.(1)如图①，若点D在点E左侧．求证：△BEF≌△DCG；【自主作答】例2题图①第四节全等三角形返回目录例2证明：(1)∵DG∥AB，∴∠FBE＝∠GDC，∵EF∥AC，∴∠FEB＝∠GCD，∵BD＝CE，∴BD＋DE＝EC＋DE，∴BE＝DC，在△BEF和△DCG中，第四节全等三角形返回目录【解题依据】此问用到的判定依据为：____________________________________________________．两角及其夹边对应相等的两三角形全等．∴△BEF≌△DCG(ASA)．FBEGDCBEDCFEBGCD第四节全等三角形返回目录(2)如图②，若D、E重合．求证：△BDF≌△FGA；【自主作答】例2题图②(2)点D、E重合记作点D，∴BD＝CD，∴点D是BC的中点，又∵DG∥AB，FD∥AC，∴点F，G分别为AB，AC的中点，∴FG∥BC，AF＝FB，FG＝BC＝BD，∴∠AFG＝∠FBD，12∴在△BDF和△FGA中，第四节全等三角形返回目录【解题依据】此问用到的判定依据为：____________________________________________________(写出一种判定依据即可）两边及其夹角对应相等的两三角形全等．∴△BDF≌△FGA(SAS)；FBAFFBDAFGBDFG第四节全等三角形返回目录(3)如图③，若点D在点E右侧．求证：△BEF≌△DCG.【自主作答】例2题图③第四节全等三角形返回目录【解题依据】此问用到的判定依据为：____________________________________________________(写出一种判定依据即可）两角及其夹边对应相等的两三角形全等．(3)∵DG∥AB，∴∠FBE＝∠GDC，∵EF∥AC，∴∠FEB＝∠GCD，在△BEF和△DCG中，∴△BEF≌△DCG(ASA)．FBEGDCBEDCFEBGCD第四节全等三角形返回目录模型分析模型展示模型特点沿同一直线(BC)平移可得两三角重合(BE＝CF)解题思路证明三角形全等的关键：(1)加(减)共线部分CE，得BC＝EF；(2)利用平行线性质找对应角相等第四节全等三角形返回目录例3如图，AC是四边形ABCD的对角线，E、F是AC上的点，连接BE，BF，DE，DF，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；【自主作答】例3题图第四节全等三角形返回目录【解题依据】此问用到的判定依据为：______________________________________两边及其夹角对应相等的两三角形全等．例3证明：(1)∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)；ABCDBAEDCFAECF第四节全等三角形返回目录(2)求证：△ABF≌△CDE；【自主作答】【解题依据】此问用到的判定依据为：___________________________________________________(写出一种判定依据即可）两边及其夹角对应相等的两三角形全等．(2)∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∴AF＝CE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE(SAS)；ABCDBAFDCEAFCE第四节全等三角形返回目录(3)求证：△BEF≌△DFE；【自主作答】(3)由(1)知，△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，由(2)知，△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，在△BEF和△DFE中，∴△BEF≌△DFE(SSS)；BEDFBFDEEFEF第四节全等三角形返回目录【解题依据】此问用到的判定依据为：___________________________________________________(写出一种判定依据即可）三边对应相等的两三角形全等．第四节全等三角形返回目录模型分析模型展示模型特点所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心对称点旋转180°，则可得到另一个三角形，两三角形有一组边共线解题思路构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等第四节全等三角形返回目录玩转陕西10年中考真题玩转安徽10年中考真题全等三角形的判定及性质(必考)命题点玩转真题基础小练1.如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，且D、E、C三点在同一直线上，AD＝，DE＝2EC.(1)求证：△ADB≌△AEC；第1题图2第四节全等三角形返回目录(1)证明：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠EAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC(SAS)；ADAEDABEACABAC第四节全等三角形返回目录(2)求线段BC的长．(2)解：如解图，设AB交CD于点O.∵AD＝AE＝，∠DAE＝90°，∴DE＝AD＝2，∵DE＝2EC，∴EC＝1，DC＝DE＋EC＝3，由(1)可知，△ADB≌△AEC，∴BD＝EC＝1，∠ABD＝∠ACE，∵∠DOB＝∠AOC，∴∠BDO＝∠OAC＝90°，∴BC＝＝2222BDCD10第1题解图第四节全等三角形返回目录2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，连接AC、BD，AC⊥DC，过点B作BE⊥AC，分别交AC、AD于点E、F，点G为BD的中点，连接CG.(1)求证：△ABE≌△DAC；第2题图第四节全等三角形返回目录(1)证明：∵AB⊥AD，∴∠BAE＋∠DAC＝90°，又∵BE⊥AC，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAC，∵AC⊥DC，BE⊥AC，∴∠DCA＝∠AEB＝90°，在△ABE和△DAC中，∴△ABE≌△DAC(AAS)；90AEBDCAABEDACABDA第四节全等三角形返回目录(2)根据题中所给条件，猜想：CE与CG的数量关系，并说明理由．(2)解：CE＝CG.理由：如解图，连接AG、EG，由(1)知△ABE≌△DAC，∴BE＝AC，∠DAC＝∠ABE，∵∠BAD＝90°，AB＝AD，点G为BD的中点，∴AG＝BG＝DG，AG⊥BG，∠DAG＝∠BAG＝∠ABD＝45°，∴∠DAC＋∠CAG＝∠ABE＋∠EBG，∴∠CAG＝∠EBG，第2题解图2第四节全等三角形返回目录在△CAG和△EBG中，∴△CAG≌△EBG(SAS)，∴CG＝EG，∠AGC＝∠BGE，∴∠AGE＋∠CGE＝∠AGE＋∠AGB，∴∠CGE＝∠AGB＝90°，∴△CGE为等腰直角三角形，∴CE＝CG.2ACBECAG