专题38 基本不等式(解析版)

中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师专题38基本不等式专题知识梳理1．基本不等式如果a、b是正数，那么ab≤a＋b2(当且仅当a＝b时取“＝”)，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．2．常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；(2)a＋b2≥ab；(3)ba＋ab≥2(a与b同号)；(4)ab≤_(a＋b2)2(a、b∈R)；(5)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a、b∈(0，＋∞)(两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的大小关系)．3．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2P(简记：积定，和有最小值)．(2)如果和x＋y的定值为S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值14S2(简记：和定，积有最大值)．考点探究考向1利用基本不等式求最值【例】（2018·江苏卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________．【解析】由角平分线和三角形面积公式得，ABCABDBCDSSS，中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师∴111sin1201sin601sin60222acac,化简得ac=a+c.(方法1)1aca，4a+c=4a+1aa=4a+111aa=4a+11a+1=4（a—1）+11a+5≥124(1)51aa=4+5=9．(方法2)由ac=a+c得，111ac，∴4a+c=(4a+c)11()ac=5+4caac≥5+24caac=9.当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.题组训练1.设x0，y0，若111xy，则2211xy的最小值是【解析】∵111xy，∴xyxy，∴2211xy=2222222()2xyxyxyxyxy222()221xyxyxyxy，∵x0，y0，∴2xyxyxy2,4xyxy，当且仅当xy时，取等号，∴2211142xy，故2211xy的最小值是122.设x,y为正实数，若2241xyxy，则2xy的最大值是．【解析】∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，∴(2x＋y)2－32·2x＋y22≤1，解之得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105.等号当且仅当2x＝y0，即x＝1010，y＝105时成立．3.若不等式220axxb的解集为1{|}xxa，则式子222()ababab最小值为．【解析】由题意知，判别式△=0,即440ab，∴ab=1，且ab，中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师∴2222()4442()4abababababababab．当且仅当4abab即2ab时取“=”号，解得2(12),122ab∴所求式子的最小值为4.4.已知a0，b0，a+b=2，求14ab的最小值．【解析】∵14ab=（14ab）2ab=14(14)2abba=51492222abba．故14ab的最小值是92．5.若,abR，0ab，则4441abab的最小值为___________.【解析】44224141114244abababababababab，前一个等号成立的条件是222,ab后一个等号成立的条件是12ab，两个等号可以同时取得，则当且仅当2222,24ab时取得等号．故所求的最小值为4.6.若实数,xy满足133(0)2xyxx，则313xy的最小值为．【解析】由33xyx得，33xy，故313xy=3y+13y=3y13y+612(3)63yy=2+6=8，当且仅当31y=，4y或2y．当4y时，31(0,)72x，适合题意；当2y时，3152x（舍去）．故313xy的最小值为8．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师7.已知正数yx,满足x+y=1，则4121xy的最小值为．【解析】∵x+y=1，∴(x+2)+(y+1)=4，∴4141141()1()212121421xyxyxyxy=（）1412141219[41][52](54)42142144yxyxxyxy=+++（）（）．当且仅当41221（）yxxy=，22(1)xy（负值舍去）,解得2133，=xy，上式取等号，故所求的最小值为94．8.设ab0，则211aabaab的最小值是.【解析】211aabaab＝211()aabababaab＝11()()abaababaab≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立．如取a＝2,b＝22满足条件.考向2利用基本不等式求参数的值或取值范围【例】（1）若函数y＝1x－1＋ax(a＞0，x＞1)的最小值为3，则a＝．（2）已知a0，b0，若不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，则m的最大值为．【解析】（1）∵y＝1x－1＋ax＋a－a＝1x－1＋a(x－1)＋a≥21x－1×a（x－1）＋a＝2a＋a＝3，当且仅当1x－1＝a(x－1)时等号成立．∵a0，∴a＝1.（2）由3a＋1b≥ma＋3b得，m≤(a＋3b)(3a＋1b)＝9ba＋ab＋6，又9ba＋ab＋6≥29＋6＝12，中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师∴m≤12，∴m的最大值为12.题组训练1.若存在正实数x，使得22131xaxx成立，则a的取值范围是.【解析】22131xaxx即22131xaxx，存在x0，使得22131xaxx成立，它等价于max221()31xaxx,由x0，得12xx（当且仅当1x时取等号），∴211313xxxxx11=2+35，即231xxx的最大值为15，∴2115a，解得35a，∴a的取值范围是3(,]5.2.已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．【解析】∵2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥22x－a·2x－a＋2a＝4＋2a，由题意知4＋2a≥7，得a≥32，∴实数a的最小值为32.3.已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为．【解析】∵x2＋y20，∴3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)等价于λ≥3x2＋4xyx2＋y2，则λ≥（3x2＋4xyx2＋y2）max,令T=3x2＋4xyx2＋y2，则T=223)4())1xxyyxy（（，令0xty，2(3)40TttT，164(3)0TT当解得14T，当T=4时，t=2，此时x＝2y时取等号，∴3x2＋4xyx2＋y2的最大值是4，∴λ≥4，即λ的最小值是4.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师