2016高中数学 第三章 指数函数和对数函数测试题 北师大版必修1

第三章测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{y|y＝2x，x∈N＋}，B＝{y|y＝x2，x∈N＋}，则()A．ABB．ABC．A＝BD．A⃘B且B⊉A[答案]D[解析]∵A＝{2,4,8,16,32，……}，B＝{1,4,9,16,25，……}，∴2∈A，且2∉B；9∈B且9∉A，故选D.2．下列计算正确的是()A．log26－log23＝log23B．log26－log23＝1C．log39＝3D．log3(－4)2＝2log3(－4)[答案]B[解析]在B选项中，log26－log23＝log263＝log22＝1，故该选项正确．3．已知函数f(x)＝log3x，x02x，x≤0，则f(f(19))＝()A．4B.14C．－4D．－14[答案]B[解析]f(f(19))＝f(log319)＝f(－2)＝2－2＝14.4．给定函数①y＝x12，②y＝log12(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]B[解析]y＝log12(x＋1)和y＝|x－1|在区间(0,1)上单调递减，y＝x12和y＝2x＋1在区间(0,1)上单调递增．5．函数y＝ax与y＝－logax(a0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是()[答案]A[解析]排除法：∵函数y＝－logax中x0，故排除B；当a1时，函数y＝ax为增函数，函数y＝－logax为减函数，故排除C；当0a1时，函数y＝ax为减函数，函数y＝－logax为增函数，故排除D，所以选A.6．(2014·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)[答案]A[解析]∵y＝x＋1在[－1，＋∞)上是增函数，∴y＝x＋1在(0，＋∞)上为增函数．7．(2015·新课标Ⅱ)设函数f(x)＝1＋log2－x，x＜1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝()A．3B．6C．9D．12[答案]C[解析]由已知得f(－2)＝1＋log24＝3，又log2121，所以f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9，故选C.8．(2014·辽宁高考)已知a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则()A．abcB．acbC．cbaD．cab[答案]D[解析]a＝2－13＝132∈(0,1)，b＝log2130，c＝log1213log1212＝1，∴cab.9．设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝3x－2，集合M＝{x|x∈R|f(g(x))0}，N＝{x∈R|g(x)2}，则M∩N＝()A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(－1,1)D．(－∞，1)[答案]D[解析]∵f(g(x))0，∴g2(x)－4g(x)＋30.∴g(x)3或g(x)1，∴M∩N＝{x|g(x)1}．∴3x－21,3x3，∴x1.故选D.10．(2015·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝2x－1－2，－log2x＋，x≤1，x1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－74B．－54C．－34D．－14[答案]A[解析]由已知条件可得函数图像：故f(a)＝－3＝－log2(a＋1)，可得a＝7；f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.故本题正确答案为A.11．(2014·陕西高考)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是()A．f(x)＝x3B．f(x)＝3xC．f(x)＝x12D．f(x)＝(12)x[答案]B[解析]当f(x)＝3x时，f(x＋y)＝3x＋y，f(x)f(y)＝3x·3y＝3x＋y，∴f(x＋y)＝f(x)·f(y)；当f(x)＝(12)x时，f(x＋y)＝(12)x＋y，f(x)f(y)＝(12)x·(12)y＝(12)x＋y，∴f(x＋y)＝f(x)f(y)，又f(x)＝(12)x为单调递减函数，f(x)＝3x为单调递增函数，故选B.12．已知f(x)＝log12(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－4,4)B．[－4,4)C．(－4,4]D．[－4,4][答案]C[解析]要使f(x)在[2，＋∞)上是减函数，则需g(x)＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上递增且恒大于零．∴a2≤2g＝22－2a＋3a0⇒－4a≤4.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2014·天津高考)函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．[答案](－∞，0)[解析]函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令u＝x2，则函数u＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又∵y＝lgu是增函数，∴函数f(x)＝lgx2的单调递减区间为(－∞，0)．14．已知f(x6)＝log2x，则f(8)＝________.[答案]12[解析]∵f(x6)＝log2x＝16log2x6，∴f(x)＝16log2x，∴f(8)＝16log28＝16log223＝12.15．设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则a，b，c大小关系为______．[答案]cab[解析]a＝log32＝1log23，b＝ln2＝1log2e，而log23log2e1，所以ab，c＝5－12＝15，而52＝log24log23，所以ca，综上cab.16．关于函数y＝2x2－2x－3有以下4个结论：①定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)；②递增区间为[1，＋∞)；③是非奇非偶函数；④值域是(116，＋∞)．则正确的结论是________．(填序号即可)[答案]②③[解析]①不正确，因为y＝2x2－2x－3的定义域为R；④不正确，因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴2x2－2x－3≥2－4＝116，即值域为[116，＋∞)；②正确，因为y＝2u为增函数，u＝x2－2x－3在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，所以y＝2x2－2x－3的递增区间为[1，＋∞)；③正确，因为f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)279＋3338＋3×100－30.064；(2)设4a＝5b＝100，求2(1a＋2b)的值．[解析](1)原式＝259＋3278＋3－33＝532＋3322＋3－0.4＝53＋32＋3－25＝17330(2)∵4a＝100，∴a＝log4100.同理可得，b＝log5100，则1a＝1log4100＝log1004，1b＝1log5100＝log1005，∴1a＋2b＝log1004＋2log1005＝log100(4×52)＝log100100＝1.∴2(1a＋2b)＝2.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)．(1)求g(x)的解析式及定义域；(2)求函数g(x)的最大值和最小值．[解析](1)∵f(x)＝2x，∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.∵f(x)的定义域是[0,3]，∴0≤2x≤3，0≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.∴g(x)的定义域是[0,1]．(2)g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]．∴当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3；当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4.19．(本小题满分12分)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(12)＝0，求不等式f(log4x)0的解集．[解析]因为f(x)是偶函数，所以f(－12)＝f(12)＝0，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数．所以f(log4x)0⇒log4x12或log4x－12，解得：x2或0x12，则不等式f(log4x)0的解集是{x|x2，或0x12}．20．(本小题满分12分)某商品的市场日需求量Q1和日产量Q2均为价格P的函数，且Q1＝144·(12)P＋12，Q2＝6×2P，日总成本C关于日产量Q2的关系式为：C＝10＋13Q2.(1)Q1＝Q2时的价格为均衡价格，求此均衡价格P0；(2)当P＝P0时，求日利润L的大小．[解析]均衡价格即供需相等时所对应的价格，利润＝收益－成本，列出方程即可求解．(1)根据题意有Q1＝Q2，144·(12)P＋12＝6×2P，即(2P)2－2·2P－24＝0.解得2P＝6,2P＝－4(舍去)．∴P＝log26，故P0＝P＝log26.即均衡价格为log26元．(2)由于利润＝收益－成本，故L＝Q1P－C＝36log26－(10＋13×36)＝36log26－22，故P＝P0时，利润为(36log26－22)元．21．(本小题满分12分)已知a0且a≠1，函数f(x)＝logax，x∈[2,4]的值域为[m，m＋1]，求a的值．[解析]当a1时，f(x)＝logax，在[2,4]上是增加的，∴x＝2时，f(x)取最小值；x＝4时，f(x)取最大值，即loga2＝m，loga4＝m＋1∴2loga2＝loga2＋1.∴loga2＝1，得a＝2当0a1时，f(x)＝logax在[2,4]上是减少的，∴当x＝2时，f(x)取最大值；x＝4时，f(x)取最小值，即loga2＝m＋1，loga4＝m.∴loga2＝2loga2＋1，∴loga2＝－1.∴a＝12.综上所述，a＝2或a＝12.22．(本小题满分12分)已知a1，f(logax)＝aa2－1·(x－1x)．(1)求f(x)；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)若f(1－m)＋f(2m)0，求m的取值范围．[解析](1)设t＝logax，则x＝at，则f(t)＝aa2－1(at－1at)，∴f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(x∈R)．(2)设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝aa2－1(ax1－a－x1)－aa2－1(ax2－a－x2)＝aa2－1[(ax1－ax2)＋(a－x2－a－x1)]＝aa2－1(ax1－ax2)(1＋1ax1ax2)．∵a1，∴ax1ax2，则有ax1－ax20.而aa2－10,1＋1ax1ax20，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)为R上的增函数．(3)∵f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－aa2－1(ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∵f(1－m)＋f(2m)0，∴f(1－m)－f(2m)＝f(－2m)．∵f(x)在R上是增函数，∴1－m－2m.解得m－1.故m的取值范围是(－∞，－1)．