2016新课标三维人教B版数学选修4-5 2.1 柯西不等式

版权所有:中国好课堂．1柯西不等式[对应学生用书P28][读教材·填要点]1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式(1)定理1(柯西不等式的代数形式)设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2.上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.(2)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|上式中等号成立⇔向量α和β共线(平行)⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.(3)定理3：设a1，a2，b1，b2为实数，则a21＋a22＋b21＋b22≥a1＋b12＋a2＋b22等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使得μa1＝λb1，μa2＝λb2.(4)定理4(平面三角不等式)设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则a1－b12＋a2－b22＋b1－c12＋b2－c22≥a1－c12＋a2－c22.等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得：μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)，μ(a2－b2)＝λ(b2－c2)．(5)定理5：设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|当α－β，β－γ为非零向量时，上面不等式中等号成立⇔存在正常数λ，使得α－β＝λ(β－γ)⇔向量α－β与β－γ同向，即夹角为零．版权所有:中国好课堂．柯西不等式的一般形式定理设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)12(b21＋b22＋…＋b2n)12≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|，其中等号成立⇔a1b1＝a2b2＝…＝anbn(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)[小问题·大思维]1．在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a1a2＝b1b2吗？提示：不可以．当a2·b2＝0时，柯西不等式成立，但a1a2＝b1b2不成立．2．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．[对应学生用书P29]利用平面上的柯西不等式证明有关不等式[例1]已知a，b，c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θc，求证：acos2θ＋bsin2θc.[思路点拨]由柯西不等式直接证明即可．[精解详析]由柯西不等式，得acos2θ＋bsin2θ≤[(acosθ)2＋(bsinθ)2]12(cos2θ＋sin2θ)12＝(acos2θ＋bsin2θ)12c.∴acosθ＋bsin2θc.利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设a，b均为正实数，且a＋b＝2.版权所有:中国好课堂求证：a22－a＋b22－b≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]a22－a＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]a2－a2＋b2－b2≥2－a·a2－a＋2－b·b2－b2＝(a＋b)2＝4.∴a22－a＋b22－b≥42－a＋2－b＝2.∴原不等式成立.利用一般形式的柯西不等式证明不等式[例2]设a，b，c为正数，且不全相等．求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a9a＋b＋c.[思路点拨]本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据a＋b，b＋c，c＋a；1a＋b，1b＋c，1c＋a，然后利用柯西不等式解决．[精解详析]构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；1a＋b，1b＋c，1c＋a，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥9，于是2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9a＋b＋c.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a＋b1a＋b＝b＋c1b＋c＝c＋a1c＋a⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是2a＋b＋2b＋c＋2c＋a9a＋b＋c.版权所有:中国好课堂柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，其中ai，bi均为正实数(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．2．设a，b，c为正数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.证明：∵a2b＋b2c＋c2a(a＋b＋c)＝ab2＋bc2＋ca2·[(b)2＋(c)2＋(a)2]≥ab·b＋bc·c＋ca·a2＝(a＋b＋c)2，即a2b＋b2c＋c2a(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，又a，b，c为正实数，∴a＋b＋c0.∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.利用柯西不等式求最值[例3]设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值．[思路点拨]本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号．[精解详析]根据柯西不等式120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2，故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230.当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即x＝376，y＝289，z＝2215时等号成立，此时umax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．3．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝________.解析：根据柯西不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取到版权所有:中国好课堂等号，必须满足x1＝y2＝z3，结合x＋2y＋3z＝14，可得x＋y＋z＝3147.答案：3147[对应学生用书P30]一、选择题1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是()A．[－25，25]B．[－210，210]C．[－10，10]D．(－5，5]解析：∵a2＋b2＝10，∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2，即20≥(a＋b)2，∴－25≤a＋b≤25.答案：A2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则1＋1x1＋1y的最小值为()A．4B．2C．1D．14解析：1＋1x1＋1y≥1＋1xy2＝4，故选A.答案：A3．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋5y的最大值是()A.2B．1C．3D．9解析：∵2x＋5y＝2x·1＋5y·1≤4x2＋5y2·12＋12＝1·2＝2.∴2x＋5y的最大值为2.答案：A4．设a1，a2，…，an为实数，P＝a21＋a22＋…＋a2nn，Q＝a1＋a2＋…＋ann，则P与Q的大小关系为()A．PQB．P≥QC．PQD．不确定解析：由柯西不等式知版权所有:中国好课堂(a21＋a22＋…＋a2n)12·111n＋＋＋个12≥a1＋a2＋…＋an，∴a21＋a22＋…＋a2n·n≥a1＋a2＋…＋an.即得a21＋a22＋…＋a2nn≥a1＋a2＋…＋ann，∴P≥Q.答案：B二、填空题5．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝ab＋cd，Q＝ma＋nc·bm＋dn，则P与Q的大小________．解析：由柯西不等式，得P＝am·bm＋nc×dn≤am2＋nc2×bm2＋dn2＝am＋nc×bm＋dn＝Q.答案：P≤Q6．(陕西高考)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．解析：由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，当且仅当ma＝nb时等号成立，∴m2＋n2≥5，∴所求最小值为5.答案：57．函数y＝2cosx＋31－cos2x的最大值为________．解析：y＝2cosx＋31－cos2x＝2cosx＋32sin2x≤cos2x＋sin2x[22＋322]＝22.当且仅当cosxsin2x＝232，即tanx＝±322时，函数有最大值22.答案：228．已知x，y，z均为正实数，且x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式．由于(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥x·1x＋y·2y＋z·3z2＝36，所以1x＋4y＋9z≥36.版权所有:中国好课堂＝14y2＝19z2，即x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．∴1x＋4y＋9z的最小值为36.答案：36三、解答题9．已知实数a、b、c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.求证：－23≤c≤1.证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式得：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，5(1－c2)≥(1－c)2，整理得，3c2－c－2≤0，解得－23≤c≤1.∴－23≤c≤1.10．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，求x2＋y2＋z2的最小值．解：由柯西不等式，得[x＋(－2)y＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x2＋y2＋z2)，即(x－2y－3z)2≤14(x2＋y2＋z2)，即16≤14(x2＋y2＋z2)．所以x2＋y2＋z2≥87，当且仅当x＝y－2＝z－3，即当x＝27，y＝－47，z＝－67时，x2＋y2＋z2的最小值为87.11．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求a的最值．解：由柯西不等式，有(2b2＋3c2＋6d2)12＋13＋16≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，当且仅当2b12＝3c13＝6d16时等号成立，代入b＝12，c＝13，d＝16时，amax＝2，代入b＝1，c＝23，d＝13时，amin＝1.