高中数学不等式必修五 选讲

众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！不等式必修五+选讲一、不等式的性质不等式的基本性质．性质1对称性ab⇔ba性质2传递性如果ab，bc，那么ac性质3可加性如果ab，那么a＋cb＋c推论如果ab，cd，那么a＋cb＋d性质4可乘性如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc推论如果ab0，cd0，那么acbd性质5乘方性质如果ab0，那么anbn(n∈N，n≥2)性质6开方性质如果ab0，那么nanb(n∈N，n≥2)【例题1】已知a，b，c∈R，且ab＞0，则下面推理中正确的是()A．a＞b⇒am2＞bm2B.ac＞bc⇒a＞bC．a3＞b3⇒1a＜1bD.a2＞b2⇒a＞b【例题2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的范围【例题3】已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：aca＋c＞bdb＋d.二、基本不等式1、两个定理定理内容等号成立的条件定理1a2＋b2≥2ab(a，b∈R)当且仅当a＝b时，等号成立定理2a＋b2≥ab(a，b＞0)当且仅当a＝b时，等号成立2.算术平均与几何平均众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！，b都是正数，我们称a＋b2为a，b的算术平均，ab为a，b的几何平均．3、已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则(1)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，S取得最小值2P；(2)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值S24.【例题1】下列不等式中，正确的个数是()①若a，b∈R，则a＋b2≥ab；②若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2≥2；③若x∈R，则x2＋1＋1x2＋1≥2；④若a，b为正实数，则a＋b2≥ab.A．0B．1C．2D.3【例题2】若x≠0，则f(x)＝2－3x2－12x2的最大值是________，取得最值时x的值是________.【例题3】已知a，b，c都是正数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【例题4】国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！(万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？三、三个正数的算术­几何平均不等式1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．3、对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4、若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc有最大值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值．【例题1】设x＞0，则y＝x＋4x2的最小值为__________【例题2】设a，b，c为正数，求证：1a2＋1b2＋1c2(a＋b＋c)2≥27.【例题3】函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________，最小值为________四、绝对值不等式。绝对值的几何意义1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．绝对值三角不等式1．定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b||a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．3、定理2如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！)(b－c)≥0时，等号成立．【例题1】设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|＞2B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2D.不可能比较大小【例题2】对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．【例题3】已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围五、不等式的证明（比较、综合、分析略）反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．常见词语至少有一个至多有一个唯一一个是有或存在全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上不是不存在不全不都是放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．【例题1】已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．【例题2】已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1an＜32.六、二维柯西不等式。二维形式的柯西不等式众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2当且仅当ad＝bc时，等号成立向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在点O两旁时，等号成立注意：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．【例题1】已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.（二维向量）【例题2】若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．【例题3】若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点七、一般形式柯西不等式（三维）三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)·(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．一般形式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！【例题1】已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值_____【例题2】已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值_________【例题3】已知a，b，c∈(0，＋∞)，1a＋2b＋3c＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．【例题4】已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．八、排序不等式。顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋anbn为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1称为反序和．排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b2＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．【例题1】已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)1bc≥1ca≥1ab；(2)a2b2c2＋b2c2a2＋c2a2b2≥1a2＋1b2＋1c2.【例题2】设a，b，c为正数，求证：a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≤a3bc＋b3ca＋c3ab.练一练：1、已知关于x的不等式|x＋a|b的解集为{x|2x4}．众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值．2、已知a0，b0，c0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求14a2＋19b2＋c2的最小值3、设.（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立,求实数的取值范围．4、设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．5、已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，a＞0．（1）当a=3时，解不等式f（x）＜4；（2）若正实数a，b，c满足a+b+c=1，且不等式f（x）对任意实数x都成立，求a的取值范围．6、设()11.fxxx（1）求()2fxx的解集；（2）若不等式22()log(412)fxaa对任意实数a恒成立，求x的取值范围.13fxxx2fx1fxkx3,1xk