高考数学终极解题策略-构造函数

高考数学终极解题策略-构造函数构建函数专题关系式为“加”型（1）'()()0fxfx构造[()]'['()()]xxefxefxfx（2）'()()0xfxfx构造[()]''()()xfxxfxfx（3）'()()0xfxnfx构造11[()]''()()['()()]nnnnxfxxfxnxfxxxfxnfx（注意对x的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）'()()0fxfx构造2()'()()'()()[]'()xxxxxfxfxefxefxfxeee（2）'()()0xfxfx构造2()'()()[]'fxxfxfxxx（3）'()()0xfxnfx构造121()'()()'()()[]'()nnnnnfxxfxnxfxxfxnfxxxx（注意对x的符号进行讨论）小结：1.加减形式积商定2.系数不同幂来补3.符号讨论不能忘典型例题：例1.设()()fxgx、是R上的可导函数，'()()()'()0fxgxfxgx，(3)0g，求不等式()()0fxgx的解集变式：设()()fxgx、分别是定义在R上的奇函数、偶函数，当0x时，'()()()'()0fxgxfxgx，(3)0g，求不等式()()0fxgx的解集.例2.已知定义在R上的函数()()fxgx、满足()()xfxagx，且'()()()'()fxgxfxgx，(1)(1)5(1)(1)2ffgg，若有穷数列*()()()fnnNgn的前n项和等于3132，则n等于.变式：已知定义在R上的函数()()fxgx、满足()()xfxagx，且'()()()'()fxgxfxgx，若若(1)(1)5(1)(1)2ffgg，求关于x的不等式log1ax的解集.例3.已知定义域为R的奇函数()fx的导函数为'()fx，当0x时，()'()0fxfxx，若111(),2(2),ln(ln2)222afbfcf，则关于,,abc的大小关系是例4.已知函数()fx为定义在R上的可导奇函数，且()'()fxfx对于任意xR恒成立，且f（3）=e，则()fx/e^x1的解集为变式：设()fx是R上的可导函数，且'()()fxfx，(0)1f，21(2)fe.求(1)f的值.例5.设函数()fx在R上的导函数为'()fx，且22()'()fxxfxx，变式：已知()fx的导函数为'()fx，当0x时，2()'()fxxfx，且(1)1f，若存在xR，使2()fxx，求x的值.巩固练习:1.定义在R上的函数()fx，其导函数'fx满足'1fx，且23f，则关于x的不等式1fxx的解集为▲．2.已知定义在R上的可导函数()yfx的导函数为/()fx，满足/()()fxfx，且(1)yfx为偶函数，(2)1f，则不等式()xfxe的解集为▲3.设)(xf和)(xg分别是()fx和()gx的导函数，若()()0fxgx在区间I上恒成立，则称)(xf和)(xg在区间I上单调性相反.若函数31()23fxxax与2()2gxxbx在开区间(,)ab上单调性相反（0a），则ba的最大值为▲4.设函数)(xf在R上存在导数)(xf，对任意的Rx有2)()(xxfxf，且在,0上，.)(xxf，若,22)()2(aafaf则实数a的取值范围为▲；一些常见的导数小题1．已知函数32()fxxbxcxd（b、c、d为常数），当(0,1)x时取极大值，当(1,2)x时取极小值，则221()(3)2bc的取值范围是（）4b+c+12=02b+c+3=0BDAobcA.37(,5)2B.(5,5)C.37(,25)4D.(5,25)2．已知)(xf、)(xg都是定义在R上的函数，()0gx，()()()()fxgxfxgx，)()(xgaxfx，25)1()1()1()1(gfgf，则关于x的方程2520((0,1))2abxxb有两个不同实根的概率为（）A.51B.52C.53D.543．设曲线1*()nyxnN在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为nx,则12nxxx的值为A.1nB.1nnC.11nD.14．定义在R上的函数xfy，满足2fxfx，1xf'0x，若313faf，则实数a的取值范围是（）A．2,3B．2,3C．22,33D．22,,335．已知函数()sin()fxxxxR，且22(23)(41)0fyyfxx，则当1y时，1yx的取值范围是（）A．13[,]44B．3[0,]4C．14[,]43D．4[0,]36．已知函数32()132xmxmnxy的两个极值点分别为x1，x2，且x1(0,1)，x2(1,+)，记分别以m，n为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D，若函数log(4)(1)ayxa的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为()A．(1,3]B．(1,3)C．(3,)D．[3,)7．已知函数3111,0,36221,,112xxfxxxx，函数sin220,6gxaxaa若存在12,0,1xx，使得12fxgx成立，则实数a的取值范围（）A.14,23B.2,13C.43,32D.1,238．已知3,ln3lnlnbdca，则22)()(cdba的最小值为（）A．5103B．518C．516D．5129．已知21()ln(0)2fxaxxa，若对任意两个不等的正实数12,xx，都有1212()()2fxfxxx恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(0,1]B．(1,)C．(0,1)D．[1,)10．已知定义在R上的函数)(xf和)(xg分别满足222'(1)()2(0)2xffxexfx，0)(2)('xgxg，则下列不等式成立的是（）A.(2)(2015)(2017)fggB.(2)(2015)(2017)fggC.(2015)(2)(2017)gfgD.(2015)(2)(2017)gfg11．若函数1)2(33)(23xaaxxxf有极大值又有极小值,则a的取值范围是______．12．已知函数263,xeexfxxxgxex，实数,mn满足0mn，若1,xmn，20,x，使得12fxgx成立，则nm的最大值为__________．答案1．D【解析】试题分析：因为函数32()fxxbxcxd的导数为2'()32fxxbxc.又由于当(0,1)x时取极大值，当(1,2)x时取极小值.所以'(1)0'(0)0'(2)0fff即可得23004120bccbc，因为221()(3)2bc的范围表示以1(,3)2圆心的半径的平方的范围.通过图形可得过点A最大，过点B最小，通过计算可得221()(3)2bc的取值范围为(5,25).故选D.考点：1.函数的导数问题.2.极值问题.3.线性规划问题.4.数形结合的思想.2．B【解析】试题分析：令()()()xfxhxagx，则2()()()()()0[()]fxgxfxgxhxgx，所以()()()xfxhxagx是减函数，01a.又25)1()1()1()1(gfgf，所以151,22aaa.由0得25b.又(0,1)b，由几何概型概率公式得：25p.选B.考点：1、导数的应用；2、指数函数及方程；3、几何概型.3．C【解析】试题分析：曲线1*()nyxnN，1)1(,)1(nfxnyn，∴曲线y=xn+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为)1)(1(1xny，该切线与x轴的交点的横坐标为1nnxn，因此。12nxxx1111.....3221nnnnn考点：nxy的导数，曲线C的切线方程，直线与x的交点.4．D【解析】试题分析：函数xfy，满足2fxfx说明函数xfy的图象关于直线1x对称，由于1xf'0x，则当1x时，()0fx，函数在(,1)为增函数，当1x时，()0fx，函数在(1，+)为减函数，因(1)(3)ff，若313faf，则311a或'，313a，则23a或23a，选D；考点：1．利用导数判断函数的单调性；2．借助函数图象，数形结合，解不等式5．A【解析】试题分析：()1cos0fxx，所以()sin()fxxxxR单调递增，且为奇函数.由22(23)(41)0fyyfxx得22(23)(41)fyyfxx即：22222341(2)(1)1yyxxxy.作出221(2)(1)1yxy表示的区域如图所示：xy–1–2–3–41234–1–2–3–412PEOD14PEk.设:(1)PDykx，由2|21|11kkk得123,04kk.结合图形可知，1344k即13414yx.选A.考点：1、导数及函数的性质；2、平面区域；3、不等关系.6．B【解析】试题分析：因为，32()132xmxmnxy，所以，y'=x2+mx+12（m+n），依题意知，方程y'=0有两个根x1、x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），构造函数f（x）=x2+mx+12（m+n），所以，f00 f10＞＜，即mn023mn0＞＜，∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（-1，1）∴要使函数y=loga（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＞loga（-1+4）∴loga3＜1，解得a＜3又∵a＞1，∴1＜a＜3，故选B．考点：利用导数研究函数的极值，二元一次不等式（组）与平面区域。点评：中档题，本题综合性较强，应用导数研究函数的极值，通过构造函数结合函数图象研究方程跟单分布，体现应用数学知识的灵活性。7．A【解析】试题分析：当1[0,]2x时，10f(x)6；当1(,1]2x时，32f(x)1xx，32'246()(1)xxfxx0，故函数在1(,1]2x是单调递增，所以1f(x)16，综上所述：[0,1],0f(x)1x；又[0,1]x时，322a(x)22ga，则要使存在12,0,1xx，使得12fxgx成立，则值域交集非空，则3202a且221a，所以a14,23.考点：1、导数在单调性上的应用；2、函数的值域；3、集合的运算.8．B．【解析】设)3,(aaP，)3,(bbQ，则222)()(PQcdba，)3,(aaP的轨迹为直线3xy，)3,(bbQ的轨迹为双曲线xy3，双曲线上一点)3,(00xx到直线03yx的距离为106103300xxd，22)()(cdba的最小值为518【命题意图】本题主要考查距离公式、基本不等式等知识，考查学生转化与化归、逻辑推理能力．9．D【解析】试题分析：根据1212()()2fxfxxx可知函数的导数大于或等于2，所以'20,0