数学培优网双曲线典型例题(一)

双曲线典型例题（一）[例1]根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线有公共焦点，且过点；（2）与双曲线有共同渐近线，且过点解：（1）方法一：设双曲线方程为由题意易求又双曲线过点∴又∵∴故所求双曲线方程为方法二：设双曲线方程为将点代入得∴双曲线方程为（2）方法一：设双曲线方程为由题意得解之，得故双曲线方程为方法二：设所求双曲线方程为，将点代入得所以双曲线方程为即[例2]已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；（3）求的面积。解析：（1）∵∴可设双曲线方程为∵双曲线过点∴，即∴双曲线方程为（2）证法一：由（1）可知，双曲线中∴∴，∴，∵点M（3，m）在双曲线上∴，故∴∴证法二：∵，∴∵M点在双曲线上∴，即∴，即（3）的底，的高∴[例3]双曲线C：的两条准线间距离为3，右焦点到直线的距离为，（1）求双曲线C的方程；（2）双曲线C中是否存在以为中点的弦？解：（1）根据题意有解之，得，，所以双曲线C的方程为（2）假设存在以为中点的弦AB，且设则（*）方法一：设AB所在直线方程为，即①将①代入双曲线C：，整理得②∴③④由（*）及④得，整理得将代入③有即当时，方程②无解，从而不存在以为中点的弦方法二：将代入双曲线C：有⑤－⑥，得即又由（*）知即过AB的弦所在直线的斜率从而AB所在的直线方程为，即代入双曲线C的方程，化简得，此时即时，所求直线与双曲线实际上没有交点故不存在以为中点的弦[例4]在双曲线的同一支上的不同三点，，与焦点F（0，5）的距离成等差数列。（1）求；（2）证明线段AC的垂直平分线经过定点，并求出定点的坐标。解析：（1）∵点A在双曲线上支上，由双曲线第二定义，∴同理，，由题意，得∴（2）证明：设AC的中点为，AC的中垂线为，其斜率为，则的方程为由题意可得2－1整理，得把345代入上式，得∴代入直线方程，得即故直线过定点