专题21-构造二倍角、半角-2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

中物理构造二倍角、半角既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：思路1：构造半角三角函数．tanα2=ab+a2+b2tanα=aba2+b2a2+b2baα2α构造二倍角三角函数：勾股定理可求二倍角三角函数值2ααα思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．αα2α【2019咸宁中考】如图，在平面直角坐标系中，直线122yx与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线212yxbxc经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．备用图yxCBAOOABCDxy【分析】（1）抛物线：213222yxx；（2）思路：转化为等角本题中的∠BAC和∠ABD是内错角，若是构造∠ABD=∠BAC，作平行线即可．两倍角亦可以作平行构造出，过B作x轴的平行线，作BA关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D点．DαααOABCxy考虑到12BAk，故12BDk，可得直线BD解析式为：122yx，与抛物线联立方程：213122222xxx，解得：10x，22x，故D点坐标为（2，3）．【2018扬州中考删减】如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．问题：当t=1时，抛物线2yxbxc经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使12MQDMKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．KMABCPOxyQ【分析】思路：三角函数构造相等角t=1时，P点坐标为（1，0），Q点坐标为（3，2），代入抛物线解析式，可求得抛物线：232yxx，故顶点K的坐标为31,24．考虑要构造12MKQ，过点K作KH⊥MQ交MQ于H点，则12MKHMKQ．HKMABCPOxyQ根据图形可求得12tantan23MKQMKH，故若12MQDMKQ，则2tan3MQD，故23DQk，分别解得直线DQ解析式为23yx或243yx，与抛物线联立方程：22323xxx，解得：13x，223x，则对应D点坐标为24,39；223243xxx，解得：13x，223x，则对应D点坐标为240,39．综上所述，D点坐标为24,39或240,39．【2019宿迁中考删减】如图，抛物线2yxbxc交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，-3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO．求点P的坐标；OABCxy【分析】（1）抛物线：223yxx；（2）思路：利用特殊角的三角函数值考虑到A点坐标（1，0），C点坐标（0，-3），故1tan3ACO，若∠PAB=2∠ACO，则3tan4PAB，转化角的正切值为直线的k，即34PAk．当34PAk时，直线PA解析式为：3344yx，联立方程：2332344xxx，解得：11x，294x，故P点坐标为939,416．P2P1yxCBAO当34PAk时，直线PA解析式为：3344yx，联立方程：2332344xxx，解得：11x，2154x，故P点坐标为1557,416．综上所述，P点坐标为939,416或1557,416．【2018河南中考删减】如图，抛物线26yaxxc交x轴于A、B两点，交y轴于C．直线5yx经过点B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．备用图yxOCBAABCOxy【分析】（1）抛物线：265yxx；（2）思路：构造等腰三角形①如图，当M点在线段BC上且AM=CM时，有∠AMB=2∠ACB．MABCOxy设M点坐标为（m，m-5），结合A、C两点坐标，可得：222MCm，222=15AMmm，当AM=CM时，即222215mmm，解得：136m，故M点坐标为1317,66．②过点A作AH⊥BC交BC于H点，则①中的M点关于H的对称点2M也是满足条件的M点，易求H点坐标为（3，-2），故点2M的坐标为237,66．综上所述，M点坐标为1317,66或237,66．HM2M1ABCOxy【2019盐城中考删减】如图所示，二次函数2(1)2ykx的图像与一次函数2ykxk的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC=2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．OABCDxy【分析】（1）令2122kxkxk，解得：11x，22x，故点A横坐标为1，点B横坐标为2．（2）思路：三角函数计算考虑到1tanODCk，故可延长OD至M点使得DM=DC，可得：12OMCODC．221tan11OMCkkkkEMOABCDxy联立方程：2122kxkxk，解得：11x，22x．故A点坐标为（1，2），B点坐标为（2，k+2），E点坐标为（1，0），故2tan21kBECk，若∠OMC=∠BEC，即212kkk．212kkk，解得：13k，23k（舍）．212kkk，解得：3473k，4473k（舍）．综上所述，k的值为3或473．【2018本溪中考删减】如图，抛物线22(0)yaxxca与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB=OC=3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图2，点E的坐标为3(0,)2，点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．备用图yxCBAOOPABCExy【分析】（1）抛物线：223yxx；（2）思路：三角函数+构造三垂直先考虑∠PBE=2∠OBE：①构造∠PBO=∠OBE，即可得∠PBE=2∠OBE，考虑到12EBk，可知12PBk，故直线PB解析式为：1322yx，联立方程：2132322xxx，解得：13x，212x，故P点坐标为17,24．yxECBAPO②考虑到角度实在没什么特殊性可取，构造三垂直相似求旋转直线解析式．当P点在x轴下方的抛物线上时，构造∠EBF满足4tan3EBF，过点E作EF⊥EB交BF于F点，则BF与抛物线的交点即为所求P点．构造三垂直相似：△BOE∽△EMF，不难求得F点坐标为112,2MFyxECBAPO则直线BF的解析式：113322yx，联立方程：211332322xxx，解得：13x，213=2x，故P点坐标为13209,24再考虑∠PEB=2∠OBE：采用如②中的构造三垂直求直线解析式的思路．③如图，过点B作BF⊥BE交PE于F点，构造三垂直相似：△BME∽△FNBMNFyxECBAPO不难求得F点坐标为（1，4），故直线EF解析式为：11322yx，联立方程：21132322xxx，解得：11x，292x（舍），故P点坐标为（1，4）．④同理，可求下图中F点坐标为（5，-4），FyxECBAPO直线EF解析式为：1322yx，联立方程：2132322xxx，解得：15974x，25974x（舍），故P点坐标为5971797,28．综上，P点坐标为17,24或13209,24或（1，4）或5971797,28．【2018锦州中考删减】在平面直角坐标系中，直线122yx与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数212yxbxc的图像经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图像上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．MyxDCBAOOABCDxy【分析】（1）抛物线：213222yxx（2）考虑到1tan2ABC，①若∠MCD=2∠ABC，则4tan3MCD；过点C作CN∥x轴，作CB关于CN的对称直线与抛物线交点即为D点．NMyxDCBAO根据对称可知：12CDk，代入点C坐标可求得直线CD解析式：122yx．联立方程：213122222xxx，解得：10x，22x，故D点横坐标为2．②若∠MDC=2∠ABC，则3tan4MCD．过点B作BE⊥BC交CD的延长线于E点，故点E作EF⊥x轴交x轴于F点，EFMyxDCBAO1易证：△EFB∽△BOC，且相似比：3tan4BEBCEBC．考虑OB=4，OC=2，可知：32BF，3EF，∴E点坐标为11,32，∴直线CE的解析式为2211yx，联立方程：2132222211xxx，解得：10x，22911x故D点横坐标为2911．综上所述，D点横坐标为2或2911．THANKS“”