有限元及工程软件-5-空间问题

1第四章空间问题的有限元法2第一节三维应力状态位移),,(zyxuu),,(zyxvv),,(zyxww几何方程xuxyvyyuxvxyzwyywzvyzzuxwzx3用矩阵形式表示wvuxzyzxyzyxzxyzxyzyx0000000004各向同性弹性体的物理关系用矩阵表示为zxyzxyzyxzxyzxyzyxE)1(22100000)1(2210000)1(221000111111)21)(1()1(弹性矩阵5第二节空间问题的离散化离散化模型：由若干块状的单元在节点处连接，节点为铰链，基本未知量为节点位移。ABAQUS空间问题离散化采用的单元：应用最广泛的是应力/位移实体单元族，三维的包括四面体单元、六面体单元和楔形单元。自由度：是分析计算的基本变量。节点数—插值的阶数：ABAQUS只在节点上计算位移或其他任何自由度，在单元内的其它点，位移由节点位移插值获得。通常插值的阶数由单元的节点数决定。6线性（linear）单元：又称一阶单元，仅在单元的角点处布置节点，在每一个方向上采用线性插值。二次（quadratic）单元：又称二阶单元，在每条边上有中间节点，在每一个方向上采用二次插值。修正的（modified）二次单元：只针对四面体单元（tet）才有这种类型，即在每一条边上有中间节点，并采用修正的二次插值。7积分：ABAQUS应用数值方法在每一个单元的体积上对不同变量进行积分。完全积分：线性单元如要完全积分，则在每一个方向上需要2个积分点。而二次单元若要完全积分在每个方向上需要3个积分点。减缩积分：比完全积分单元在每个方向上少用一个积分点。只用于六面体单元。杂交单元：对于ABAQUS的每一种实体单元，都可以得到一个杂交单元。用来处理不可压缩（或非常接近不可压缩材料）。如果材料不可压缩，单元的体积不会改变，则压应力不能由节点位移计算，而是由一个附加自由度来决定。495.08第三节四面体单元单元的节点位移向量为Tewvuwvuwvuwvu444333222111一、单元位移函数选取如下位移函数zyxu4321zyxv8765zyxw12111099将4个节点的坐标代入写成矩阵表达形式432144433322211143211111zyxzyxzyxzyxuuuu4321144433322211143211111uuuuzyxzyxzyxzyx104144332211iiiuNuNuNuNuNu4144332211iiivNvNvNvNvNv4144332211iiiwNwNwNwNwNw其中)(61zdycxbaVNiiiii（i=1，3）插值函数，是坐标的函数，反映单元的位移形态，在有限元法中称为形函数。)(61zdycxbaVNiiiii（i=2，4）11444333222111111161zyxzyxzyxzyxv节点的排列应满足右手螺旋法则，即从最后一个节点看去，前三个节点应逆时针排列。iiiidcba,,,（i＝1，2，3，4）为求逆过程中的代数余子式4443332221zyxzyxzyxa如12eNf单元的形函数矩阵二、应变矩阵和应力矩阵单元位移函数为41iiiuNu41iiivNv41iiiwNw13wvuxzyzxyzyxzxyzxyzyx00000000014eBiiiiiiiiiiiiiiiiiibdcdbcdcbVxNzNyNzNxNyNzNyNxNB00000000061000000000应变矩阵常应变单元15eBDSBDe应力矩阵单元中的应力也为常数。三、单元刚度矩阵变形体的虚功原理：要使变形体在某一形变位置处于平衡，其充要条件是，在这一变形位置，所有内力和外力在任何虚位移上所做的虚功之和为零。0EIWW--变形体虚功方程16设单元产生虚位移，单元节点虚位移为e*单元内部的虚应变为*dVFTVeeT**外力虚功内力虚功的负值eeSBDeB**dVBDBFVeTeTeeT**任意性17VeTedVBDBF其中的元素为常量eeekF单元刚度矩阵VBDBdVBDBkTVTe四、单元等效节点载荷向量利用虚功原理获得等效节点向量。18五、求解求解如下方程组**PFK六、应力计算及结果处理求解方程组单元内各点的应变和应力单元的节点位移向量e节点位移向量eBSBDe19算例：如图所示支架，一端牢固地焊接在一个大型结构上，支架的圆孔穿过一个相对较软的杆件，圆孔和杆件用螺纹连接。材料的弹性模量为210GPa，泊松比为0.3。支架有两种工况：1、杆件的一端受到y轴负向的集中力2kN，其大小随时间变化。2、支架的自由端在局部区域受到均布切力36MPa。试分析在两种工况下支架挠度随时间的变化情况；内圆角处的最大主应力。根据计算结果进行改进设计，减少应力集中。2021