2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系

2021/9/92021/9/91.在v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移的大小。2．匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋12at2。3．匀变速直线运动的平均速度公式v＝v0＋v2＝vt2。2021/9/92021/9/91．匀速直线运动的位移做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝。其v－t图像是一条平行于的直线，如图2－3－1所示。位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的。[自学教材]图2－3－1时间轴面积vt2021/9/92．匀变速直线运动的位移(1)位移在v－t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图像中的图线和包围的面积。如图2－3－2所示，在0～t时间内的位移大小等于的面积。(2)位移公式x＝。图2－3－2时间轴梯形v0t＋12at22021/9/9[重点诠释]1．对v－t图像中“面积”的理解(1)对于任何形式的直线运动的v－t图像，图线与时间轴所围的面积都等于物体的位移。(2)如果一个物体的v－t图像如图2－3－3所示，图线与t轴围成两个三角形，面积分别为x1和x2，此时x1＜0，x2＞0，则0～t2时间内的总位移x＝|x2|－|x1|。若x＞0，位移为正；若x＜0，位移为负。图2－3－32021/9/92．对位移公式x＝v0t＋12at2的进一步理解(1)因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向，一般以v0的方向为正方向。若a与v0同向，则a取正值；若a与v0反向，则a取负值；若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正；若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负。2021/9/9(2)因为位移公式是关于t的一元二次函数，故x－t图像是一条抛物线(一部分)。但它不表明质点运动的轨迹为曲线。(3)对于初速度为零(v0＝0)的匀变速直线运动，位移公式为x＝12vt＝12at2，即位移x与时间t的二次方成正比。(4)x＝v0t＋12at2是矢量式，应用时x、v0、a都要根据选定的正方向带上“＋”“－”号。2021/9/91．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为()A．4m/s与2m/s2B．0与4m/s2C．4m/s与4m/s2D．4m/s与0解析：对比x＝4t＋2t2和位移公式x＝v0t＋12at2，可知其初速度v0＝4m/s，加速度a＝4m/s2。答案：C2021/9/9建立一个直角坐标系，用纵轴表示位移x，用横轴表示时间t。(1)匀速直线运动：由x＝vt可知，其位移—时间图像是一条。如图2－3－4中①所示。[自学教材]图2－3－4过原点的直线2021/9/9(2)匀变速直线运动：当v0＝0时，x＝12at2，其位移—时间图像是抛物线的一部分。如图2－3－4中②所示。图像是曲线，反映了物体的位移x与时间t不成正比，而是x∝。t22021/9/9[重点诠释]1．位移—时间图像的物理意义描述物体相对于出发点的位移随时间的变化情况。2．对位移—时间图像的理解(1)能通过图像得出对应时刻物体所在的位置。(2)图线的倾斜程度反映了运动的快慢。斜率的大小等于速度的大小，斜率为正表示物体沿正方向运动，斜率为负表示物体沿负方向运动。2021/9/9(3)图线只能描述对于出发点的位移随时间的变化关系，不是物体的实际运动轨迹随时间的变化关系，二者不能相混淆。(4)初速度为0的匀变速直线运动对应的x－t图像为过原点的抛物线的一部分。(5)位移－时间图像只能描述直线运动，不能描述曲线运动，且如果图线是直线均表示物体的速度不变。2021/9/92．如图2－3－5所示是质点M在0～10s内的位移—时间图像，下列说法不正确的是()图2－3－5A．质点第1s内的位移是4mB．质点第5s的位移是8mC．质点前6s的位移是8mD．质点前10s的位移是16m2021/9/9解析：在x－t图像中，纵轴表示位移x，横轴表示时间t。由图可知：在第1s初，质点位于参考点O点，在第1s末，质点在距参考点4m处，故第1s内的位移为4m，选项A正确。质点从第2s末到第6s末静止不动，故选项B错误，C正确。由图可知前10s的位移是16m，D正确。答案：B2021/9/91．平均速度做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v。由x＝v0t＋12at2得，①平均速度v＝xt＝v0＋12at②2021/9/9由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝t2时vt2＝v0＋at2③由②③得v＝vt2④又v＝vt2＋at2⑤由③④⑤解得vt2＝v0＋v2，所以v＝vt2＝v0＋v2。2021/9/92．逐差相等在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2推导：时间T内的位移x1＝v0T＋12aT2①在时间2T内的位移x2＝v0(2T)＋12a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT22021/9/9此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度。2021/9/9[特别提醒](1)以上推论只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。(2)推论式xⅡ－xⅠ＝aT2常在实验中根据打出的纸带求物体的加速度。2021/9/93．一辆农用“小四轮”漏油，假如每隔1s漏下一滴，车在平直公路上行驶，一同学根据漏在路面上的油滴分布情况，分析“小四轮”的运动情况(已知车的运动方向)。下列说法错误的是()A．当沿运动方向油滴始终均匀分布时，车可能做匀速直线运动B．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车一定在做匀加速直线运动2021/9/9C．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能在减小D．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能在增大解析：由于油滴分布均匀，即在每秒钟内车通过的位移相同，故A正确；由Δx＝aT2知，如果Δx都相同，车可能做匀加速直线运动，如果Δx逐渐变大，则a变大。错，D正确；Δx逐渐变小，a变小，C正确。答案：B2021/9/92021/9/9[例1]汽车以2m/s2的加速度由静止开始运动，求：(1)5s内汽车的位移；(2)第5s内汽车的位移。[审题指导]解答本题应把握以下几点：(1)5s内的位移是指汽车前5s的总位移，持续时间是5s。(2)第5s内的位移是指从第4s末开始持续1s内的位移。(3)第5s的初速度就是第4s末的速度。2021/9/9[解析]根据运动学公式可知：5s内位移x1＝v0t1＋12at21＝(0×5＋12×2×52)m＝25m，第4s末的速度v4＝v0＋at2＝(0＋2×4)m/s＝8m/s，第5s内的位移x2＝v4t3＋12at23＝(8×1＋12×2×12)m＝9m。[答案](1)25m(2)9m2021/9/9求位移时要注意位移和时间的对应关系。本题求第5s内的位移时可先求前4s的位移，然后用前5s的位移减去前4s的位移。［借题发挥］2021/9/91．物体以初速度v0＝10m/s做匀加速直线运动，物体运动的加速度为a＝1m/s2，则求物体运动8s内的位移，第2个8s内的位移。解析：据题意可知，v0＝10m/s，a＝1m/s2，据x＝v0t＋12at2解得物体在8s内的位移为：x1＝v0t1＋12at21＝112m。2021/9/9物体在16s内的位移为：x2＝v0t2＋12at22＝288m。则物体在第2个8s内位移为：x′＝x2－x1＝288m－112m＝176m。答案：112m176m2021/9/9[例2]某一做直线运动的物体的图像如图2－3－6所示，根据图像求：(1)物体距出发点的最远距离；(2)前4s内物体的位移；(3)前4s内物体通过的路程。图2－3－62021/9/9[思路点拨](1)运动情况分析→前3s远离出发点→第4s向出发点运动(2)利用“面积”计算位移。2021/9/9[解析](1)物体距出发点最远的距离xm＝12v1t1＝12×4×3m＝6m。(2)前4s内的位移x＝x1－x2＝12v1t1－12v2t2＝12×4×3m－12×2×1m＝5m。2021/9/9(3)前4s内通过的路程x＝x1＋x2＝12v1t1＋12v2t2＝12×4×3m＋12×2×1m＝7m。[答案](1)6m(2)5m(3)7m2021/9/9(1)v－t图像与t轴所围的“面积”表示位移的大小。(2)面积在t轴以上表示位移是正值，在下表示位移是负值。(3)物体的总位移等于各部分位移(正负面积)的代数和。(4)物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。［借题发挥］2021/9/92．如图2－3－7所示为一直升机垂直起飞过程的v－t图像，则直升机运动中有几个不同性质的过程，计算飞机能达到的最大高度及25s时飞机的高度是多少。图2－3－7解析：由v－t图像的意义得：0～5s内匀加速，5～15s内匀速；15～20s内匀减速；0～20s内速度方向一直向上；2021/9/920～25s内向下匀加速，由此时速度是负值可知，当20s时竖直向上的位移最大。位移的大小为图线与坐标轴围成的“面积”x＝20＋102×40m＝600m当20s到25s阶段飞机向下运动：x1＝5×402m＝100m因此，25s时飞机的高度为500m。答案：飞机能达到的最大的高度为600m,25s时飞机的高度为500m。2021/9/9[例3]从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，共历时20s，行进50m，求其最大速度。[思路点拨]汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最大速度后，立即改做匀减速直线运动，中间的最大速度既是第一阶段的末速度，又是第二阶段的初速度。2021/9/9[解析]法一：(基本公式法)设最大速度为vmax，由题意得x＝x1＋x2＝12a1t21＋vmaxt2－12a2t22，t＝t1＋t2，vmax＝a1t1,0＝vmax－a2t2，解得vmax＝2xt1＋t2＝2×5020m/s＝5m/s。2021/9/9法二：(平均速度法)由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半，即v＝0＋vmax2＝vmax2，由x＝vt得vmax＝2xt＝5m/s。2021/9/9法三：(图像法)作出运动全过程的v－t图像如图所示，v－t图像与t轴围成的三角形的面积与位移等值，故x＝vmaxt2，则vmax＝2xt＝5m/s。[答案]5m/s2021/9/9应用推论v＝vt2＝v0＋v2解题时应注意：(1)推论v＝vt2＝v0＋v2只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式。(2)该推论是求瞬时速度的常用方法。(3)当v0＝0时，vt2＝v2；v＝0时，vt2＝v02。［借题发挥］2021/9/93．飞机在航空母舰上起飞时，在6秒的时间内从30m/s的弹射速度加速到起飞速度50m/s，求航空母舰飞行甲板的最小长度。解析：飞机起飞过程的平均速度v＝v0＋v2＝30＋502m/s＝40m/s。飞行甲板的最小长度x＝v·t＝40×6m＝240m答案：240m