江苏省扬州中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期期中考试高二(理科)数学试卷2016.4.19一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．复数iz11的共轭复数是_________________．2．命题“x=π”是“sinx=0”的________________条件．3．设异面直线21ll，的方向向量分别为)1,0,1(),0,1,1(ba,则异面直线21ll，所成角的大小为________________．4．在5)2xx（的二项展开式中,3x的系数是_____________．5．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了房间钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为__________．6.已知可导函数)(xf的导函数)('xf满足)()('xfxf，则不等式efexfx)1()(的解集是________________．7．设)(21312111)(Nkkkkkkf,那么)()1(kfkf_______．8.若数列na的通项公式)()1(12Nnnan，记)1()1)(1()(21naaanf，试通过计算)3(),2(),1(fff的值，推测出.________________)(nf9．甲、乙、丙三人站在共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数为___________．10.已知：22108)1()1()2xaxaax（88)1(xa,其中2,1,0(iai)8为实常数,则8721872aaaa____________．11.某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为.（以数字作答）.12.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PDDC，E是PC的中点．则二面角BDEC的平面角的余弦值是．13．已知函数f(x)＝13x3＋12ax2＋bx在区间[－1,1)、(1,3]内各有一个极值点，则a－hy)0,a（yxxaby04b的取值范围是__________．14．我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。类比此方法：求双曲线12222byax)0,0(ba，与x轴，直线)0(hhy及渐近线xaby所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积_____________二．解答题（本大题共6题，共90分）15．（满分14分）已知命题：“|11xxx，使等式20xxm成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式()(2)0xaxa的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．16.（满分14分）已知复数w满足4(32)wwi（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设zC，在复平面内求满足不等式1||2zw的点Z构成的图形面积．17．（满分14分）已知(12)nx的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,而又等于它后一项系数的56．(1)求展开后所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．18．（满分16分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．19．（满分16分）高一（12）班、高一（13）班共派出1n个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有nE种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有nF种选法.（1）试求nE和nF；（2）判断nEln和nF的大小（Nn），并用数学归纳法证明.20．（满分16分）已知函数))((Rxxf，)('xf存在，记)(')(xfxg，且)('xg也存在，0)('xg．⑴求证：)(xf≤))((')(000xxxfxf；)(0Rx⑵设,3,2,1(iRi)n，且121n，),,1(niRxi)(Nn求证：)()()(2211nnxfxfxf≤2211(xxf)nnx⑶已知)]}([({)],([),(,afffaffafa是正项的等比数列，求证：aaf)(．高二(理科)数学期中试卷参考答案2016.4i21-21.12．（填必要不充分，充分不必要，充分必要，不充分不必要）必要不充分3.34．－105.516.），（17.11221121kkk8.2()22nfnn9.33610.102411.31212.3313.(－16,10]14.ha2．解：my，是一个圆环其面积)(22BCACS∵12222byax22222mbaaAC，同理2222mbaBC∴222aBCAC，由观日恒原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积为ha2．hy)0,a（yxxaby015.解：（1）已知命题：“x∈{x|–1x1}，使等式x2–x–m=0成立”是真命题，得f(x)=x2–x–m=0在（-1，1）有解，由对称轴x=12，则140(1)110mfm，得m1,24．……………7分（2）不等式()(2)0xaxa①当a2-a,即a1时解集N为（2-a,a），若x∈N是x∈M的必要条件，则MN,a的取值范围29,1424aaa．②当2-aa,即a1时解集N为（a,2-a），若x∈N是x∈M的必要条件，则MN,a的取值范围221,144aaa．19a(,)(,)44综上．16.（1）43i(12i)43i,2i12iww；（2）317.解：根据题意，设该项为第r+1项，则有1111C22C2,5C2C2,6rrrrnnrrrrnn即11CC,5CC3rrnnrrnn，亦即21,!5!,!()!3(1)!(1)!nrnnrnrrnr解得4,7.rn（1）所有项的二项式系数和为72128．（2）展开式的通项为217C2,7rrrrTxrrN且．于是当r=0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为：00017C21Tx，2237C284Txx，442257C2560Txx，663377C2448Txx．18.（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，∵，PD与平面PBC所成角为30°，∴，即，解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．19.解：(1)2!nnnnnEAAn，111(1)nnnFCCnn.(2)因为ln2ln!,(1)nnEnFnn，所以11ln02EF，22lnln46EF，33lnln3612,EF，由此猜想：当*nN时，都有lnnnEF，即2ln!(1)nnn.下面用数学归纳法证明2ln!(1)nnn（*nN）.1)当1n时，该不等式显然成立.2)假设当*()nkkN时，不等式成立，即2ln!(1)kkk，则当1nk时，2ln(1)!2ln(1)2ln!2ln(1)(1)kkkkkk，要证当1nk时不等式成立.只要证：2ln(1)(1)(1)(2)kkkkk，只要证：ln(1)1kk.令()ln,(1,)fxxxx，因为'1()0xfxx，所以()fx在(1,)上单调递减，从而()(1)10fxf，而1(1,)k，所以ln(1)1kk成立.则当1nk时，不等式也成立.综合1)、2）得原不等式对任意的*nN均成立.20．证明：⑴设))((')()()(000xxxfxfxfx，则)(')(')('0xfxfx∵0)('xg故)(')(xfxg为减函数，则0xx为)(x的极大值点．∵）（x≤0)(0x，即)(xf≤))((')(000xxxfxf（当且仅当在0xx取到）⑵证明：由⑴可知：))((')()(01001xxxfxfxf，两边同乘以1得))((')()(01010111xxxfxfxf，))((')()(02020222xxxfxfxf………))((')()(000xxxfxfxfnnnnn上式各式相加，得)()()(2211nnxfxfxf)021()(xfn))()([)('0220110xxxxxf)](0xxnn因为121n，设2211xxnnx，则0)()()(0022011xxxxxxnn由此，)()()(2211nnxfxfxf)()2211nnxxxf等号当且仅当在nxxx21时成立证明：错误！链接无效。记公比为0,qq，则2)]([,)(aqaffaqaf，3}}([[{agaffff，取ax`1，22aqx，)1,0(1qq，则aqxx21)1(，])1([21xxf=2)]([)(aqaffaqf又∵)()1()(21xfxf)()1()(2aqfaf，)]}([{)1()(afffaf3)1(aqaq，)1(2333qaqaqaqaqaq223)1(1aqqaqqqaq即221)()1()(aqxfxf])1([21xxf在⑵中取1,,221n，即)()1()(21xfxf])1([21xxf当且仅当21xx时成立，即12aaqa，∴aaf)(．