二次根式的概念和性质

二次根式第1页，共17页一、二次根式的概念和性质二次根式1.二次根式的定义：形如a（0a）的式子叫做二次根式.说明：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a（0a）表示非负数a的算术平方根.2.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性：0a；（2）2()(0)aaa；（3）2(0)(0)(0)aaaaaaaa；（4）当0a时，22()aa.二、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．三、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减二次根式知识点二次根式第2页，共17页同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式：()axbxabx，同类二次根式才可加减合并．分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．ab与ab互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．四、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义来计算．五、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对与二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．六、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,abababab２．作商法：比较a、b的大小，当0,0ab时，可以采用作商法，1,1,1,abaabbab二次根式比较大小的方法（1）0abab（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法七、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式第3页，共17页二次根式的乘法法则：abab（0a，0b）．二次根式的除法法则：aabb（0a，0b）．说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于abab，a、b都非负，否则不成立．一、单选题1、（2015中考西城二模）函数2yx中，自变量的取值范围是（）A．2xB．2xC．2xD．2x【答案】B【解析】由二次根式有意义的条件可得20x，即2x，故答案为B．2、（2013初二上期末房山区）下列各式中，计算正确的是（）A．222B．21616C．288D．2236【答案】A【解析】该题考查的是二次根式的计算．x例题二次根式第4页，共17页A，222，故A正确；B，21616，故B错误；C，288，故C错误；D，22312，故D错误．所以该题的答案是A．3、31a化简后为（）A．11aaB．11aaC．D．11aa【答案】B【解析】3111aaa，故答案为B选项．4、(2013初二上期末平谷区)下列二次根式中，最简二次根式是（）A．22xB．0.5C．22xyD．1x【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．二次根式第5页，共17页A、222xx，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误；B、120.522，被开方数含分母，不是最简二次根式；故本选项错误；C、22xy满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；D、1xxx，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．故选C．5、（2012初二下期末人大附中）如果最简二次根式3bab和22ba是同类二次根式，那么a、b的值分别是（）A．0a，2bB．2a，0bC．1a，1bD．1a，2b【答案】A【解析】该题考查的是同类二次根式的概念．同类二次根式是被开方数相同的两个最简二次根式．∴2322babba，解得：02ab．故选A．6、下列运算中，正确的个数是（）①1251144251；②22222；③214141161④442⑤31255A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】二次根式第6页，共17页B【解析】该题考查的是根式的运算．①错误，应为25169131111441441212；②错误，22该式子没有意义；③错误，应为11515164164；④错误，应为244，；⑤正确，故只有1个是正确的，所以本题的答案是B．7、估计88的大小应()A．在9.1～9.2之间B．在9.2～9.3之间C．在9.3～9.4之间D．在9.4～9.5之间【答案】C【解析】设889()xx是小数部分；则有：2988x，即：2187xx，得187x，0.38x，所以88在9.39.4～之间，故答案为C选项．8、(2013初一上期末人民大学附属中学)已知正整数a、b满足972ab，那么ab的值是()A．2B．3C．4D．5二次根式第7页，共17页【答案】B【解析】该题考查的是根式的性质和运算．方法一：2972332232132163ab因此可得6,3ab，故ab的值是3．方法二：由题知正整数a、b满足972ab，两边同时平方，得9722abab，得到918abab解得6a，3b，故ab的值是3．故本题答案为B．二、填空题9、(2013初一上期末人民大学附属中学)若231604baa，则3223abab____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．∵2160a，304ba，231604baa∴2160a，304ba．∴43ab求出321823abab．10、实数a、b在数轴上的位置如图所示，则2aba的化简结果为______【答案】bba0二次根式第8页，共17页【解析】该题考查的是代数式化简．由图中可得0a，0b，且ab，则0ab，2abaabaabab．11、填空：2255abcbca=____________，3(312)______________．【答案】25，9【解析】2222425555255abcabcbcabca，33123331293636912、（2013初二上期末大兴区）若最简二次根式2342a与22613a是同类二次根式，则a_________【答案】1【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．根据题意可列：22461aa解得：1a13、（2013初二下期中北京第四中学）计算124183=__________．【答案】6【解析】二次根式第9页，共17页该题考查的是二次根式的计算．原式346923326323266614、(2013初一上期末人民大学附属中学)111115533131317____【答案】1714【解析】该题考查根式的分母有理化．1111513513317131714444415533131317故答案为1714．三、解答题15、（2014初二上期末顺义区）计算：41262273．【答案】43【解析】本题考察的是根式的计算．412622732343634316、(2013初二上期末门头沟区)计算：113322271882．二次根式第10页，共17页【答案】2322【解析】该题考查的是二次根式计算．原式2333423222232217、（2013初二上期中C理工附）（1）2、22、3分别对应数轴上的哪个点？（2）点Q、M之间的距离是_________．（3）点M关于点Q的对称点是__________．（4）若点P、Q、M、所对应的实数分别是p、q、m，化简：223322pqqmpq【答案】（1）P、M、Q（2）MQ（3）2QM（4）pm【解析】该题考察的是实数与数轴．（1）∵2322，故2、22、3分别对应数轴上点P，M，Q；（2）MQdMQ；（3）若数轴上两个点关于某个点对称，则这两个点的平均数为中间的那个点所表示的数，故点M关于点Q的对称点为2QM；（4）223322pqqmpq22qpmqpqpm18、已知112()2xyzxyz，求x、y、z的值．【答案】1,2,3xyzOPMQ二次根式第11页，共17页【解析】由112()2xyzxyz得：221220xxyyzz21(1)211(2)2210xxyyzz即：222(1)(11)(21)0xyz所以：1,2,3xyz19、比较下列二次根式的大小：45aa与56aa．【答案】4556aaaa【解析】45111555aaaaa；51166aaa；∵1156aa∴111156aa∴4556aaaa1、（2015中考平谷一模）函数11yx中自变量的取值范围是（）A．1xB．1xC．1xD．1x【答案】B【解析】根据题意可知，10x，即1x．故选B．2、对于所有实数,ab，下列等式总能成立的是（）随堂练习二次根式第12页，共17页A．2ababB．22ababC．22222ababD．2abab【答案】C【解析】因为220ab恒成立，所以22222abab，故答案为C选项．3、（2011中考大兴一模）函数12yx中，自变量x的取值范围是___________【答案】2x【解析】根据题意可知，只需20x，即2x即可．4、实数P在数轴上的位置如图所示，化简2223pp____【答案】1【解析】该题考查的是实数运算．由数轴可得，23p，∴20p，30p，∴222323231pppppp．01234p二次根式第13页，共17页5、计算：12172_________，)84)(213(_________，03.027.02_________，483273_____________．【答案】6；24；0.18；5【解析】11727261212，113481282422，20.270.0320.270.0320.090.18，482748327334335336、(2013初一上期末人民大学附属中学)化简：221269x