专题41 数列的概念及等差数列(原卷版)

专题41数列的概念及等差数列专题知识梳理1．数列的概念(1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．数列可以看做是定义域为N*或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图象是一群孤立的点．注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆．(2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．2．数列的分类(1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列．3．数列的通项公式一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列{an}的通项公式．注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．4．数列的表示方法数列可以用通项公式来描述，也可以通过图象或列表来表示．5．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．6．等差数列的通项公式一般地，对于等差数列{an}的第n项an，有an＝a1＋(n－1)d，这就是等差数列{an}的通项公式，其中a1为首项，d为公差．第二通项公式为：an＝am＋(n－m)d．注：当公差d≠0时，an是n的一次式，一次项系数为d；当d＝0时，an＝a1，此数列是常数列．7．等差数列的前n项和公式等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝n（a1＋an）2或Sn＝na1＋n（n－1）2d．注：当公差d≠0时，前n项和Sn是关于n的二次式，二次项系数为d2，一次项系数为a1－d2，常数项为0；当d＝0时，Sn＝na1，此数列是常数列．8．等差数列的性质(1)如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝a＋b2，我们把A叫做a和b的等差中项．(2)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap．(3)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，其公差是m2d．9．数列的前n项和Sn与通项公式an之间的关系an＝S1，n＝1Sn－Sn－1，n≥2.考点探究考向1由数列的前几项求数列的通项公式【例】写出下面各数列的一个通项公式：（1）12，34，78，1516，3132，…；（2）－1，32，－13，34，－15，36，…；（3）1，3，6，10，…题组训练1.数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝____．2.设数列{an}的通项公式是an＝—n2＋9n，那么20这个数是其中的第_______项．考向2由Sn求an【例】已知数列{an}的前n项和Sn，求通项an.(1)Sn＝n2—4n＋1；(2)Sn＝3n＋b.题组训练1.已知下列数列{an}的前n项和Sn，分别求出它们的通项公式．(1)Sn＝2n2＋3n；(2)log2(Sn＋1)＝n＋1.考向3等差数列中基本量的运算【例】设等差数列{}na的其前n项的和为Sn．（1）（2019·苏州模拟）若4610aa，55S，则其公差是．（2）已知24a，且222413=2()aaa，求an及Sn．题组训练1.在等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，则a9=_______．2.在等差数列{an}中，已知a1＝8，n＝5，an＝12，则Sn＝____．3.若数列}{na成等差数列，且712,aa是方程260xxc的两个实数根，则18S=.4.在等差数列{an}中，已知d＝12，an＝32，Sn＝－152，则a1＝___．5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知其前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n6)，则a9＋a10=．考向4等差数列的性质及前n项和【例】在等差数列}{na中，若1m且2110mmmaaa，2138mS，求m的值．题组训练1.等差数列}{na前n项和nS的最大值为7S，且||||87aa，使nS0的n的最大值为.2.（2019·苏北四市模拟）在等差数列中，已知2811aa，则3113aa的值为．3.若数列{an}满足a1＝1，111111nnaa，则a10＝．4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的范围；(2)该数列前几项的和最大？说明理由．考向5等差数列的判定及证明【例】已知数列}{na是等差数列，公差为d，设221nnnbaa．（1）求证：数列{nb}是等差数列；（2）若a1=a，求数列{nb}的通项公式及前n项和nS．题组训练1.已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求证：数列an－12n为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．2.已知数列{an}中，a1＝3，前n项和Sn＝12(n＋1)(an＋1)－1.(1)求证：数列{an}是等差数列．(2)求{an}的通项公式an及Sn．