专题4.1 三角函数的图象与性质(原卷版)

第四章三角函数专题1三角函数的图象与性质【三年高考】1.【2016高考江苏9】定义在区间[0，3]上的函数sin2yx的图象与cosyx的图象的交点个数是.2．【2014江苏，理5】已知函数cosyx与函数sin(2)(0)yx，它们的图像有一个横坐标为3的交点，则的值是.3．【2013江苏，理1】函数π3sin24yx的最小正周期为__________．4．【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=83对称C．f(x+π)的一个零点为x=6D．f(x)在(2,π)单调递减5．【2017天津，理7】设函数()2sin()fxx，xR，其中0，||.若5()28f，()08f，且()fx的最小正周期大于2，则（A）23，12（B）23，12（C）13，24（D）13，246．【2017山东，文7】函数3sin2cos2yxx最小正周期为A.π2B.2π3C.πD.2π7．【2016高考新课标1卷改编】已知函数()sin()(0),24fxx+x，为()fx的零点,4x为()yfx图像的对称轴,且()fx在51836，单调,则的最大值为．8.【2016年高考四川理数改编】为了得到函数πsin(2)3yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点向平行移动个单位长度．9．【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3yx图象上的点(,)4Pt向左平移s（0s）个单位长度得到点'P，若'P位于函数sin2yx的图象上，则t，s的最小值为．10．【2016高考浙江理数】已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A0)，则A=______，b=________．11.【2016高考新课标3理数】函数sin3cosyxx错误!未找到引用源。的图像可由函数sin3cosyxx错误!未找到引用源。的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【2018年高考命题预测】纵观近几年高考，我们可以发现，每年几乎所有的省都涉及到一道三角函数性质图像的题目，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中、低档；分值为5分，或12分，高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的图象与性质是本章复习的重点.从今年的高考试题来看，三角函数的周期性,单调性,对称性,最值,图像变换等是高考的热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．其特点如下：(1)考小题，重基础：小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)．(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.预测2017年高考仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性为主要考点，重点考查运算与恒等变换能力，江苏卷解答题第一题一般与三角函数有关．【2018年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下，而小题目综合化是这部分内容的考查一种趋势.【考点1】三角函数的图象与性质【备考知识梳理】1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便.以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)Pxy，过点P作PMx轴交x轴于点M，根据三角函数的定义：|||||sin|MPy；|||||cos|OMx.我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有：cosOMx同理,当角的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有sinMPy.像MPOM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OAAT、,我们有：tanyATx我们把这三条与单位圆有关的有向线段MPOMAT、、,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.2.正弦函数sinyx,余弦函数cosyx,正切函数tanyx的图象与性质性质sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkkZ值域1,11,1R最值当22xkkZ时，max1y；当22xkkZ时，min1y．当2xkkZ时，max1y；当2xkkZ时，min1y．既无最大值，也无最小值周期性22奇偶性sinsinxx,奇函数coscosxx偶函数tantanxx奇函数单调性在2,222kkkZ上是增函数；在32,222kkkZ上是减函数．在2,2kkkZ上是增函数；在2,2kkkZ上是减函数．在,22kkkZ上是增函数．对称性对称中心,0kkZ对称轴2xkkZ，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心,02kkZ对称轴xkkZ，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心,02kkZ无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.3.（五点法），先列表，令30,,,,222x，求出对应的五个错误!未找到引用源。的值和五个y值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到sinyAxh在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数sinyAxh的图像.【规律方法技巧】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为sinyAxh0,0A或cosyAxh0,0A的形式；②求出周期2T；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．【考点针对训练】1.已知a是实数，则函数()1sinfxaax的图象可能是下列A、B、C、D中的．2.函数()lg|sin|fxx是___________函数（填空奇或偶），它的最小正周期为____________.【考点2】三角函数图象的变换【备考知识梳理】1.函数图像的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数yfx向左平移0个单位，得到函数yfx的图像;把函数yfx向右平移0个单位，得到函数yfx的图像;+网】把函数yfx向上平移0个单位，得到函数yfx的图像;把函数yfx向下平移0个单位，得到函数yfx的图像.伸缩变换:把函数yfx图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1，得到函数01yfx的图像;把函数yfx图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1，得到函数1yfx的图像;把函数yfx图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A，得到函数1yAfxA的图像;把函数yfx图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A，得到函数01yAfxA的图像.2.由sinyx的图象变换出sinyx0的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sinyx的图象向左0或向右0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，便得sinyx的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sinyx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0)平移||个单位，便得sinyx的图象.注意：函数sin()yx的图象，可以看作把曲线sinyx上所有点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动个单位长度而得到.【规律方法技巧】1.在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,xy变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2.图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.【考点针对训练】1.【江苏省清江中学数学模拟试卷】将函数sinyx的图象向左平移(02)个单位后，得到函数sin()6yx的图象，则等于.2．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向_________平移____________个单位长度，再把所得各点的横坐标______________到原来的_______________倍，纵坐标不变.【考点3】求三角函数解析式【备考知识梳理】1.由sinyAx的图象求其函数式：已知函数sinyAx的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2.利用图象变换求解析式：由sinyx的图象向左0或向右0平移个单位，，得到函数sinyx，将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，便得sinyx，将图象上各