专题21 弧度制及任意角的三角函数(原卷版)

专题21弧度制及任意角的三角函数专题知识梳理1．角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2πrad；180°＝πrad；1°＝π180rad；1rad＝180π度．④弧长公式：l＝|α|r．扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2．3．任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是|OP|＝r，一般地，我们规定：①比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝yr；②比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝xr；③比值yx(x≠0)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx．(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°α弧度数0π6π4π3π22π33π45π6π3π2sinα0122232123222120－1cosα13222120－12－22－32－10tanα03313－3－1－330(3)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示α的正弦线，α的余弦线和α的正切线．三角函数线考点探究考向1角的表示【例】(1)已知α＝－2019°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(2)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限？α2是第几象限的角？并判断tanα2sinα2cosα2的符号；2α的终边在什么位置？题组训练1.若角α与角8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与角α4终边相同的角是________．2.终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．3.角－870°的终边所在的象限是第__________象限考向2三角函数的定义【例】已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则1sinα＋1tanα＝________．题组训练1.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为________．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝________．3.（易错题）已知角α的终边在直线y＝－34x上，则2sinα＋cosα＝____．考向3三角函数线的应用【例】函数y＝2cosx－1的定义域为____________．题组训练1.函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．2.函数y＝sinx－32的定义域为________．3.（拔高题）函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为__________________．考向4扇形的基本运算【例】扇形AOB的周长为8cm．(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．题组训练1.已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________；扇形的圆心角所对的弦长为________cm．2.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6cm，求扇形的弧长及所含弓形的面积．3.(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？