专题25 三角函数的图象与性质(原卷版)

专题25三角函数的图象与性质专题知识梳理1．周期函数(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．(3)三角函数的周期性一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝2π|ω|.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无考点探究考向1三角函数的定义域及值域【例】（1）函数y＝sinx－cosx的定义域为________．(2)函数y＝cos2x＋sinx(|x|≤π4)的最小值为____；(3)函数y＝sinx－2sinx－1的值域为____；题组训练1.y＝tan2x的定义域是________．2.已知函数y＝2cosx的定义域为π3，π，值域为[a，b]，则b－a的值是__________．3.函数y＝cos2x＋sin2x，x∈R的值域是____．4.函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为__________．考向2三角函数的单调性【例】（2018·苏州期末）已知函数2()(3cossin)23sin2fxxxx．（1）求函数()fx的最小值，并写出()fx取得最小值时自变量x的取值集合；（2）若,22x，求函数()fx的单调增区间．题组训练1.函数y＝cos2x－π4的单调递减区间为__________．2.函数f(x)＝4sinπ3－2x的单调递减区间是______________________．3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sinφcos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)在π，3π2上单调递减，则ω的取值范围是______________考向3三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例】(1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的函数序号为___________．（2）若函数f(x)＝3sin2x－π3＋φ，φ∈(0，π)为偶函数，则φ的值为______．（3）若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为________．题组训练1.已知函数f(x)＝sin2ωx－π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则正确的序号为_______①．函数f(x)的图象关于点π6，0对称②．函数f(x)的图象关于直线x＝π6对称③．函数f(x)在π2，π上单调递减④．函数f(x)在π2，π上单调递增2.已知函数f(x)＝2cos22x－2.给出下列命题：①∃β∈R，f(x＋β)为奇函数；②∃α∈(0，3π4)，f(x)＝f(x＋2α)对x∈R恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|的最小值为π4；④∀x1，x2∈R，若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z)．其中的真命题序号有________3.若函数y＝cosωx(ω∈N*)的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为____．4.已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)的图象关于直线x＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f(α2)＝34(π6＜α＜2π3)，求cos(α＋3π2)的值．5.已知函数f(x)＝32sin(x＋π6)－12cos(x＋π6)，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x1＜x2＜…＜xn≤6π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝12(n≥2，n∈N*)，则n的最小值为___________