专题08含参函数的单调性研究(解析版)

专题08含参函数的单调性研究(解析版)“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容,也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看,含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性,极值以及最值中,因此在高考复习中更应引起我们的重视．含参函数的单调性研究的易错点易错点1：忽略函数的定义,往往默认定义域为R；研究函数的有关问题时,一定要先求确定函数的定义域；易错点2：讨论参数时,漏掉分段点；易错点3：不连续的同类单调区间不要合并；易错点4：讨论)('xf的零点时,忽视增根的情况；导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界,但要注意其定义域和连续性．即先求出)('xf的零点,再其分区间然后定)('xf在相应区间内的符号．一般先讨论0)('xf无解情况,再讨论解0)('xf过程产生增根的情况(即解方程变形中诸如平方,去分母,去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根,但根实际上不在定义域内的),即根据)('xf零点个数从少到多,相应原函数单调区间个数从少到多讨论,最后区间(最好结合导函数的图象)确定相应单调性．易错点5：导函数是二次函数或分子是二次函数时,忽视开口方向当二次函数开口定时对其正负进行讨论的,要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号,相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的,结合导函数图象列变化表,注意用根的符号21,xx代替复杂的式,最后结论才写回．个别点处导数为0不影响单调性．题组一1.[贵港12月]讨论）（Raeaxxfx2的单调性.【解析】的定义域为,'()2+xfxae=．若0a³,则,所以在单调递增．若0a,则当()(),ln2xa??时,当()()ln2+xa??，,,所以在()(),ln2a-?单调递减,在()()ln2+a-?，单调递增．2．(2012)设函数()2xfxeax．(Ⅰ)求()fx的单调区间；【解析】(Ⅰ)的定义域为,．若,则,所以在单调递增．若,则当时,当,,所以在单调递减,在单调递增．3．(2015)设函数2()mxfxexmx．(Ⅰ)证明：()fx在(,0)单调递减,在(0,)单调递增；【解析】法一：．若,则当时,,；当时,,．若,则当时,,；当时,,．所以,在单调递减,在单调递增．法二：()()//2////()20()(0)=0,0(0)0,0,(0)0,mxfxmefxfxfxf=+????恒成立，所以y=在R上单调递增，又，所以当时，当时，所以,()fx在(,0)单调递减,在(0,)单调递增()fx(,)()0fx()fx(,)()0fx()0fx()fx()fx(,)()xfxea0a„()0fx()fx(,)0a(,ln)xa()0fx(ln,)xa()0fx()fx(,ln)a(ln,)a()(e1)2mxfxmx0m≥(,0)x10mxe≤()0fx(0,)x10mxe≥()0fx0m(,0)x10mxe()0fx(0,)x10mxe()0fx()fx(,0)(0,)()(e1)2mxfxmx题组二4.讨论xaxxfln)(的单调性．【解析】xaxxfln)(的定义域为),0()0(11)('xxaxxaxf(它与1)(axxg同号)I）当0a时,)0(0)('xxf恒成立(此时axxf10)('没有意义)此时)(xf在),0(为单调增函数,即)(xf的增区间为),0(II）当0a时,)0(0)('xxf恒成立,(此时axxf10)('不在定义域内,没有意义)此时)(xf在),0(为单调增函数,即)(xf的增区间为),0(III)当0a时,令axxf10)('于是,当x变化时,)(),('xfxf的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)所以,此时)(xf在)1,0(a为单调增函数,)(xf在),1(a是单调减函数,即)(xf的增区间为)1,0(a;)(xf的减区间为),1(a．x)1,0(aa1),1(a)('xf+0-)(xf增↗减↘5．(2018)已知函数1()lnfxxaxx．(1)讨论()fx的单调性；【解析】(1)的定义域为,．（i）若,则,当且仅当,时,所以在单调递减．(ii)若,令得,或．当时,；当时,．所以在,单调递减,在单调递增．6.(2020柳州1月)]讨论函数Raxxaaxxfln2的单调性.【解析】(1)的定义域为,2/2222()aaxxafxaxxx-+=+-=．(i)若0a£,则/()0fx,所以在单调递减．(ii)若1a³,则2/=4-40()0afxD?，所以,在单调递增．(iii)若01a,令得22121111,22aaxxaa--+-==当22111+10+22aaxaa骣骣---琪琪违琪琪琪琪桫桫，，时,．当22111122aaxaa骣----琪Î琪琪桫，时,()fx(0,)22211()1axaxfxxxx2≤a()0≤fx2a1x()0fx()fx(0,)2a()0fx242aax242aax2244(0,)(,)22aaaaxU()0fx2244(,)22aaaax()0fx()fx24(0,)2aa24(,)2aa2244(,)22aaaa()fx(0,)()fx(0,)()fx(0,)()0fx()0fx()0fx所以在22111122aaaa骣----琪琪琪桫，单调递减,在22111+10+22aaaa骣骣---琪琪¥琪琪琪琪桫桫，，，单调递增．题组三7．(2017)已知函数2()lnfxaxaxxx,且()0fx≥．(1)求a；【解析】(1)的定义域为．设,则,等价于．因为,,故,而,,得．若,则．当时,,单调递减；当时,,单调递增．所以是的极小值点,故．综上,．8．(2017)已知函数()1lnfxxax．(1)若()0fx≥,求a的值；【解析】(1)的定义域为．①若,因为,所以不满足题意；②若,由知,当时,；当时,,所以在单调递减,在单调递增,故是在的唯一最小值点．()fx()fx(0,)()lngxaxax()()fxxgx()0fx≥()0gx≥(1)0g()0gx≥(1)0g1()gxax(1)1ga1a1a1()1gxx01x()0gx()gx1x()0gx()gx1x()gx()(1)0gxg≥1a()fx(0,)a0≤11()ln2022fa＞0a1axaf'xxx0x,a＜0f'x，+xa＞0f'x()fx(0,)a(,)axa()fx(0,)由于,所以当且仅当a=1时,．故a=1．9．(2016)已知函数2()(2)(1)xfxxeax有两个零点．(I)求a的取值范围；【解析】(Ⅰ)．(i)设,则,只有一个零点．(ii)设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．又,,取满足且,则,故存在两个零点．(iii)设,由得或．若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．若,则,故当时,；当时,．因此在上单调递减,在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．综上,的取值范围为．题组四10.求1)(232xaxxaxf的单调区间．【解析】1)(232xaxxaxf的定义域为R,10f()0fx≥'()(1)2(1)(1)(2)xxfxxeaxxea0a()(2)xfxxe()fx0a(,1)x'()0fx(1,)x'()0fx()fx(,1)(1,)(1)fe(2)fab0bln2ab223()(2)(1)()022afbbababb()fx0a'()0fx1xln(2)xa2ealn(2)1a(1,)x'()0fx()fx(1,)1x()0fx()fx2ealn(2)1a(1,ln(2))xa'()0fx(ln(2),)xa'()0fx()fx(1,ln(2))a(ln(2),)a1x()0fx()fxa(0,))1)(13(123)('22axaxaxxaxfI)当0a时,01)('xf)(xf在R上单调递减,)(xf减区间为R,无增区间．II)当0a时032a,)('xf是开口向上的二次函数,令)0(1,310)('21aaxaxxf得,因此可知(结合)('xf的图象)i)当0a时,21xxaxaxfaxaxxf3110)(';3110)('或此时,)(xf的增区间为),31()1,(aa和；)(xf的减区间为)31,1(aaii)当0a时,21xx//1111()0,()033fxxxfxxaaaa?-?-或此时,)(xf的增区间为),1()31,(aa和；)(xf的减区间为)1,31(aa．11.(南宁市摸底)求1223mmxxxf的单调区间．【解析】1223mmxxxf的定义域为R,'2()=62fxxmx(I)I当0m时,/260fxx,)(xf在R上单调递增,)(xf增区间为R,无减区间．(II)当0m时,)('xf是开口向上的二次函数,令/120,03mfxxx得，，,因此可知(结合)('xf的图象)(i)当0m时,21xx//,0,()0,0,()033mmxfxxfx当时，当时，U此时,)(xf的增区间为,0,3m，；)(xf的减区间为0,3m(ii)当0m时,21xx//,0,()0,,0()033mmxfxxfx当时，当时，U此时,)(xf的增区间为,0,3m，；)(xf的减区间为,03m．12．(2019)已知函数,讨论的单调性；【解析】(1)．令,得x=0或.若a0,则当时,；当时,．故在单调递增,在单调递减；若a=0,在单调递增；若a0,则当时,；当时,．故在单调递增,在单调递减.32()2fxxaxb()fx2()622(3)fxxaxxxa()0fx3ax(,0),3ax()0fx0,3ax()0fx()fx(,0),,3a0,3a()fx(,),(0,)3ax()0fx,03ax()0fx()fx,,(0,)3a,03a