C单元 三角函数

C单元三角函数C1角的概念及任意的三角函数14．C1，C2，C6[2013·四川卷]设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．14.3[解析]方法一：由已知sin2α＝－sinα，即2sinαcosα＝－sinα，又α∈π2，π，故sinα≠0，于是cosα＝－12，进而sinα＝32，于是tanα＝－3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×（－3）1－3＝3.方法二：同上得cosα＝－12，又α∈π2，π，可得α＝2π3，所以tan2α＝tan4π3＝3.C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式2．C2[2013·全国卷]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A．－1213B．－513C.513D.12132．A[解析]cosα＝－1－sin2α＝－1213.16．C2，C5[2013·广东卷]已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(1)求fπ3的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求fθ－π6.16．解：14．C1，C2，C6[2013·四川卷]设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．14.3[解析]方法一：由已知sin2α＝－sinα，即2sinαcosα＝－sinα，又α∈π2，π，故sinα≠0，于是cosα＝－12，进而sinα＝32，于是tanα＝－3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×（－3）1－3＝3.方法二：同上得cosα＝－12，又α∈π2，π，可得α＝2π3，所以tan2α＝tan4π3＝3.C3三角函数的图像与性质1．C3[2013·江苏卷]函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期为________．1．π[解析]周期为T＝2π2＝π.17．C3[2013·辽宁卷]设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．17．解：(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1.及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.9．C3[2013·山东卷]函数y＝xcosx＋sinx的图像大致为()图1－39．D[解析]∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcosx＋sinx)＝－f(x)，∴y＝xcosx＋sinx为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B，当x＝π2，y＝10，x＝π，y＝－π0，故选D.16．C3、C5、C9[2013·新课标全国卷Ⅰ]设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．16．－255[解析]f(x)＝sinx－2cosx＝515sinx－25cosx，令cosα＝15，sinα＝25，则f(x)＝5sin(x－α)．当θ－α＝2kπ＋π2，即θ＝2kπ＋π2＋α(上述k为整数)时，f(x)取得最大值，此时cosθ＝－sinα＝－255.C4函数的图象与性质16．C4[2013·安徽卷]设函数f(x)＝sinx＋sinx＋π3.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变化得到．16．解：(1)因为f(x)＝sinx＋12sinx＋32cosx＝32sinx＋32cosx＝3sinx＋π6，所以当x＋π6＝2kπ－π2(k∈Z)，即x＝2kπ－2π3(k∈Z)时，f(x)取得最小值－3.此时x的取值集合为x错误!x＝2kπ－错误!，k∈Z.(2)先将y＝sinx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y＝3sinx的图像；再将y＝3sinx的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y＝f(x)的图像．15．C4，C5，C6，C7[2013·北京卷]已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2x·sin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1.因为α∈π2，π，所以4α＋π4∈9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.9．C4[2013·全国卷]若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0)的部分图像如图1－1所示，则ω＝()图1－1A．5B．4C．3D．29．B[解析]根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4.9．C4[2013·福建卷]将函数f(x)＝sin(2x＋θ)－π2θπ2的图像向右平移φ(φ0)个单位长度后得到函数g(x)的图像．若f(x)，g(x)的图像都经过点P0，32，则φ的值可以是()A.5π3B.5π6C.π2D.π69．B[解析]g(x)＝f(x－φ)＝sin[2(x－φ)＋θ]，由sinθ＝32，－π2θπ2，得θ＝π3，又sin(θ－2φ)＝32，结合选项，知φ的一个值为5π6，故选B.6．C4[2013·湖北卷]将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()A.π12B.π6C.π3D.5π66．B[解析]结合选项，将函数y＝3cosx＋sinx＝2sinx＋π3的图像向左平移π6个单位得到y＝2sinx＋π2＝2cosx，它的图像关于y轴对称，选B.13．C4[2013·江西卷]设f(x)＝3sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．13．a≥2[解析]|f(x)|max＝2，则a≥2.16．C4[2013·新课标全国卷Ⅱ]函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y＝sin2x＋π3的图像重合，则φ＝________.16.5π6[解析]由已知，y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移π2得到y＝cos(2x－π＋φ)＝－cos(2x＋φ)．y＝sin2x＋π3＝－cosπ2＋2x＋π3＝－cos2x＋56π，两个函数图像重合，故φ＝56π.18．C4，C7[2013·山东卷]设函数f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．18．解：(1)f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx＝32－3·1－cos2ωx2－12sin2ωx＝32cos2ωx－12sin2ωx＝－sin2ωx－π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－π3.当π≤x≤3π2时，5π3≤2x－π3≤8π3.所以－32≤sin2x－π3≤1.因此－1≤f(x)≤32.故f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.6．C4[2013·天津卷]函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为()A．－1B．－22C.22D．06．B[解析]∵x∈0，π2，∴2x－π4∈－π4，3π4，当2x－π4＝－π4时，f(x)有最小值－22.图1－36．C4[2013·四川卷]函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的部分图像如图1－3所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π36．A[解析]由半周期T2＝11π12－5π12＝π2，可知周期T＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x＋φ)．当x＝5π12时，f5π12＝2，即sin5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，因为－π2φπ2，取k＝0，得φ＝－π3.16．F3，C4[2013·陕西卷]已知向量a＝cosx，－12，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．16．解：f(x)＝cosx，－12·(3sinx，cos2x)＝3cosxsinx－12cos2x＝32sin2x－12cos2x＝cosπ6sin2x－sinπ6cos2x＝sin2x－π6.(1)f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(0)＝－12，当2x－π6＝56π，即x＝π2时，fπ2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12.6．C4[2013·浙江卷]函数f(x)＝sinxcosx＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，26．A[解析]f(x)＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3，则最小正周期为π；振幅为1，所以选择A.C5两角和与差的正弦、余弦、正切15．C4，C5，C6，C7[2013·北京卷]已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2x·sin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1.因为α∈π2，π，所以4α＋π4∈9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.16．C2，C5[2013·广东卷]已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(1)求fπ3的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求fθ－π6.16．解：3．C5[2013·江西卷]若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.233．C[解析]cosα＝1－2sin2α2＝13，故选C.17．C5，C8，F1[2013·四川卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－35.(1)求sinA的值；(2)若a＝42，b＝5，求向量BA→在BC→方向上的投影．17．解：(1)由cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－35，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－35.则cos(A－B＋B)＝－35，即cos