现代控制理论第4章稳定性李雅普诺夫方法

4.2李雅普诺夫第一法4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.3李雅普诺夫第二法4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用李雅普诺夫(Алекса́ндрМиха́йловичЛяпуно́в,1857-1918)博士论文《论运动稳定性的一般问题》4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.1.1系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为（1）式中，为维状态矢量；为与同维的矢量函数，它是x的各元素和时间的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含，则为定常的非线性系统。设方程式(1)在给定初始条件下，有唯一解：（2）式中，为表示在初始时刻时的状态；是从开始观察的时间变量。式(2)实际上描述了系统式(1)在n维状态空间中从初始条件出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。若系统式(1)存在状态矢量，对所有，都使：成立，则称为系统的平衡状态。（3）对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：当A为非奇异矩阵时，满足的解是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。（4）0ex对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所确定的常值解．例：就有三个平衡状态：由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。4.1.2稳定性的几个定义若用表示状态矢量与平衡状态的距离，用点集表示以为中心为半径的超球体，那么，则表示：（5）式中，为欧几里德范数。在n维状态空间中，有：（6）当很小时，则称为的邻域。因此，若有，则意味着同理，若方程式(1)的解位于球域内，便有：（7）式(7)表明齐次方程式(1)内初态或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。1．李雅普诺夫意义下稳定2．渐近稳定3．大范围渐近稳定4．不稳定如果方程式（1）描述的系统对于任意选定的实数0，都对应存在另一实数0(,)0t，使当00,exxt时，从任意初始状态0x出发的解都满足：000;,,etxtxtt则称平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定。其中实数与有关，一般情况下也与0t有关，如果与0t无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。u稳定渐近稳定4.2李雅普诺夫第一法4.2.1线性系统的稳定判据线性定常系统（1）平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。如果系统对于有界输入所引起的输出是有界的，则称系统为输出稳定。线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：设系统的状态空间表达式为10101110xxuyx分析系统的状态稳定性和输出稳定性的极点全部位于s的左半平面。（2）例：4.2.2非线性系统的稳定性设系统的状态方程为：（3）为其平衡状态；为与同维的矢量函数，且对x具有连续的偏导数。为讨论系统在处的稳定性，可将非线性矢量函数在邻域内展成泰勒级数，得：（4）式中，为级数展开式中的高阶导数项。而（5）称为雅可比(Jacohian)矩阵。若令，并取式(4)的一次近似式，可得系统的线性化方程：（6）exxfAx在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论：1)如果方程式(6)中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统式(3)在平衡状态，是渐近稳定的，而且系统的稳定性与无关。2)如果A的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态是不稳定的。3)如果A的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态的稳定性将取决于高阶导数项，而不能由A的特征值符号来确定。•例4.2：设系统状态方程为：分析系统在平衡状态处的稳定性11122212xxxxxxxx设为由维矢量所定义的标量函数，，且在处恒有。4.3李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。4.3.1预备知识1.标量函数的符号性质所有在域中的任何非零矢量，如果：例：判断下列函数的符号性质123,Txxxx22123()()Vxxxx123,Txxxx2212()Vxxx1.标量函数为2.标量函数为2．二次型标量函数二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作用。设为n个变量，定义二次型标量函数为：（8）如果ijjipp，且均为实数，则称P为实对称矩阵。如22211223112323()2110110001Vxxxxxxxxxxxx矩阵P的符号性质定义如下：设P为实对称方阵，为由P所决定的二次型函数。3．希尔维斯特判据设实对阵矩阵：由此可见，矩阵P的符号性质与由其所决定的二次型函数的符号性质完全一致。因此，要判别的符号只要判别P的符号即可。而后者可由希尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。（9）为其各阶顺序主子行列式：（10）矩阵定号性的充要条件是：4.3.2几个稳定性判据用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括为以下几个稳定性判据。平衡状态为。设系统的状态方程为：（11）如果存在一个标量函数，它满足：2)是正定的，即当。3)沿状态轨迹方向计算的时间导数分别满足下列条件：①若为半负定，那么平衡状态为在李雅普诺夫意义下稳定。此称稳定判据。②若为负定；或者虽然为半负定．但对任意初始状态来说，除去外，对不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步还，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。1)对所有x都具有连续的一阶偏导数。③若为正定，那么平衡状态是不稳定的。此称不稳定判据。例4-4：已知非线性系统状态方程为22121122221212()()xxxxxxxxxx试分析其平衡状态的稳定性例4-5：已知系统状态方程：0111xx试分析系统平衡状态的稳定性例4-8：设系统状态方程为分析0ex处的稳定性1111xx4.3.3对李雅普诺夫函数的讨论1)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶偏导数。2)对于一个给定系统，如果是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。3)的最简单形式是二次型函数：5)由于构造函数需要较多技巧，因此，李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。4)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，丝毫不能提供域外运动的任何信息。4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.4.1线性定常连续系统渐近稳定判据设线性定常连续系统为：则平衡状态为大范围渐近稳定的充要条件是：A的特征根均具有负实部。（1）命题4.1矩阵nnAR的所有特征根均具有负实部，等价于存在对称矩阵0P，使得0TAPPA对任意给定的正定实对称矩阵0Q，若存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程：TAPPAQ则可取：()TVxxPx为系统的李雅普诺夫函数几点说明：1）在实际应用中，通常是先选取一个正定矩阵Q，代入李雅普诺夫方程式TAPPAQ解出矩阵P，然后根据希尔维斯特判据判定P的正定性，进而做出系统渐近稳定的结论。2）为了方便起见，通常选取QI,这时P应满足：TAPPAI例4.9已知系统状态方程：3210xx试分析系统平衡点的稳定性。4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。但是，非线性系统的稳定性却可能只具有局部性质。4.5.1雅可比(Jacobian)矩阵法雅可比矩阵法，亦称克拉索夫斯基(Krasovski)法，二者表达形式略有不同，但基本思路是一致的。实际上，它们都是寻找线性系统李雅普诺夫函数方法的一种推广。设非线性系统的状态方程为：（12）式中，为维状态矢量；为与同维的非线性矢量函数。假设原点是平衡状态，对可微，系统的雅可比矩阵为：（13）则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称阵P，使下列矩阵（14）为正定的。并且（15）是系统的一个李雅普诺大函数。如果当时，还有，则系统在是大范围渐近稳定。4.5.2变量梯度法变量梯度法也叫舒茨一基布逊(Shultz—Gibson)法，这是他们在1962年提出的一种寻求李雅普诺夫函数较为实用的方法。变量梯度法是以下列事实为基础的：即如果找到一个特定的李雅普诺夫函数，能够证明所给系统的平衡状态为渐近稳定的，那么，这个李雅普诺夫函数的梯度：必定存在且唯一。于是对时间的导数可表达为：（16）或写成矩阵形式，得：（17）由此，舒茨--基布逊提出，从假设一个旋度为零的梯度Vy着手，然后根据式(17)的关系确定。如果这样确定的和都满足判据条件，那么这个就是所要构造的李雅普诺夫函数。2．变量梯度法1．有关场论的几个基本概念(1)标量函数的梯度(2)矢量的曲线积分(3)矢量的旋度本章完