第十二届中关村青联杯全国研究生基于S型曲线的加减速优化控制与实例检验

1参赛密码（由组委会填写）全全第第十十二二届届““中中关关村村青青联联杯杯””全全国国研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛学校郑州大学参赛队号10459037队员姓名1.鲁兴学2.李珂3.陈冠华参赛密码（由组委会填写）2第第十十二二届届““中中关关村村青青联联杯杯””全全国国研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛题目基于S型曲线的加减速优化控制与实例检验摘要基于计算机的数控系统的工作原理，分析数控加工刀具运动的优化控制。具体问题及方法如下：对于问题一，当加工型线为折线，在指定加工误差的条件下，当相邻两折线段夹角为90°和135°时，讨论通过折线交点时对应各坐标运动速度的变化。首先将折线夹角范围分为0,60、(60,120]、(120,180]三种情况，分别建立对应的高速高精度夹角过渡模型，直接过渡模型和圆弧过渡模型。根据进给速度、加速度、误差、半径、插补周期等约束条件，求出最终插补点的速度，即折线拐点速度大小。建立直角坐标系，根据折线段上起始点、拐点、终点坐标，利用向量知识计算出交点前后各轴分量表达式。结果发现当相邻两折线段夹角为90°和135°时，都将带来各运动轴的速度跳变，直接过渡模型保证了转接点的合成速度大小不发生变化，但合成速度是个矢量，其方向将被动地跳变为下一段的路径方向，这种方向的变化反应在各轴上即是速度的突变。此外还可对该模型的可行性和精度进行实例检验。对于问题二，当加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线，在满足加工误差的条件下，将直线与圆弧之间的过渡简化为直线与直线之间的过渡，根据问题一中的模型，得到拐角速度与圆弧半径之间的关系表达式，可以发现：圆弧半径越大，速度越高，算法效率越高。通过用Matlab进行编程（具体程序见附录），可得S型加减速控制曲线的速度、加速度、加加速度随时间变化规律曲线，建立圆弧插补模型和S曲线加减速模型规划算法，对加工路径示例进行模拟检验。由于不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，考虑到每个路径节点的最大限制速度的不同，将加工路径分为两大类，直线段路径和圆弧路径。利用圆弧插补算法先求出满足误差和分辨率的圆弧上的插补点和插补次数，再利用夹角过渡模型求出满足精度的从直线到圆弧的过渡速度，算出过加工圆弧路径所用时间。利用S型曲线规划算法，考虑已知给进速度和加速度的范围，利用软件Matlab编程，只需输入起点速度sv、指令速度v、终点速度ev，根据待插补曲线的位移s和各节点速度限制，算出每个直线段路径所用时间，进而求出整个加工路径的所用时间为84.7252s。3对于问题三，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，利用问题二中的程序，只需重新调整各节点的速度，节点1的速度为0.19m/min，节点11的速度为0.13m/min，期间要求最大速度为1.26m/min，节点2处最大速度限制为0.19m/min，重新输入各阶段起点速度sv、指令速度v、终点速度ev，算出每个直线段路径所用时间，而圆弧节点的过渡速度与问题二中的相同，求出从节点1再到节点11所用总时间为84.3363s。对于问题四，分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点。在高速加工过程中，S曲线加减速模型，涉及参数较多，并且根据路径段长度有多种变化，算法实现较复杂，为此本文提出一种三次多项式加减速控制模型。通过模型检验发现三次多项式加减速控制模型始终能保证在高速运动过程中加速度曲线的连续，从而消除了进给过程的冲击，使机床运行平稳。且该模型在变速过程中加加速度、加速度、速度和位移的计算只涉及次数较少的四则运算，算法实现较简单。关键词：优化;夹角过渡模型;圆弧插补;S曲线加减速算法;三次多项式加减速控制4目录1.研究背景与问题重述..........................................................................................................52.问题分析..............................................................................................................................53.模型假设与约定..................................................................................................................64.符号说明及名词定义..........................................................................................................65.模型建立..............................................................................................................................75.1坐标系的确定原则......................................................................................................75.2模型I：折线段夹角过渡模型...................................................................................85.3模型II：直线段与圆弧间的圆弧过渡模型...........................................................125.4模型III：圆弧插补算法.........................................................................................125.5模型IV：S型曲线加减速模型................................................................................135.6模型V：S型曲线规划算法......................................................................................146.模型求解............................................................................................................................166.1问题一：通过折线交点时对应各坐标运动速度的变化.......................................166.2问题二：圆弧半径的变化对算法效率的影响及示例检验....................................166.3问题三：加工路径示例检验....................................................................................196.4问题四：三次多项式加减速控制模型....................................................................207.模型分析与检验................................................................................................................207.1夹角过渡模型的检验................................................................................................207.2三次多项式加减速控制模型检验...........................................................................218.模型评价............................................................................................................................218.1模型的优点................................................................................................................218.2模型的不足................................................................................................................229.参考文献............................................................................................................................2210．附录..................................................................................................................................2351.研究背景与问题重述随着科学技术和社会的发展，机械产品的性能、精度日趋提高，结构更趋合理，对机械产品的性能、质量、生产率和成本等提出了越来越高的要求，数控加工技术的出现，在现代机械制造业中，发挥着重要的作用。为了实现数控加工技术的高速、高效、高精度的目标，使得机床各运动轴都能够在极短的时间内达到高速运行状态并实现高速准停，研究开发数控加工刀具运动满足高速、高精度要求的、有效柔性加减速控制方法，已成为现代高性能数控系统研究的重点。基于计算机的数控系统的工作原理，假设不考虑刀具尺寸大小及刀具磨损，加工刀具抽象为一点，本文主要研究以下几个问题：问题一：设加工型线为折线，在指定加工误差（指在加工型线的法线方向上加工型线与刀具实际轨迹的差值的最大值）的条件下，建立实时加工优化控制算法，当相邻两折线段夹角为90°和135°时，讨论通过折线交点时对应各坐标运动速度的变化；问题二：设加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线，在指定加工误差的条件下，不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立实时加工优化控制算法，讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响；并应用所建立的模型对下面的加工路径示例进行检验；问题三：在第2问基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立相对应的实时加工优化控制算法；并应用所建立的模型对下面的加工路径示例进行检验；问题四：结合前3问，分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型（如刀具在各坐标轴方向上的运动满足加加速度连续变化等）。2.问题分析本题的难点在于数控机床对加工刀具在三个坐标轴方向的运动实行的是分别控制，但显然它们之间必须相互协调；加工刀具行走的路线一定是一系列首尾相接的直线段，因此加工刀具的运动轨迹一般与工件几何形状之间肯定存在误差；每一机床都有对应的分辨率，故加工刀具的运动方向受限制，并影响到加