223幂函数

泉州七中高一年数学组2011.11.5(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=______w元(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=____(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=____(5)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度v=______________是____的函数a²a³V是a的函数t⁻¹km/sv是t的函数(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长_________12Sa是S的函数以上问题中的函数具有什么共同特征?Pway=xy=x2y=x3y=x12y=x-1____是____的函数Sa问题提出上述这些函数的解析式结构有何共同特点？其一般形式如何？(1)都是函数；(2)指数为常数.(3)均是以自变量为底的幂；知识探究(一)ayxayxaayxxay一般地，函数叫做幂函数(powerfunction)，其中x为自变量，为常数。你能说出幂函数与指数函数的区别吗?注意:幂函数的解析式必须是y=ｘa的形式，其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．指数函数：解析式，底数为常数a，a0，a≠1，指数为自变量x；幂函数：解析式，底数为自变量x，指数为常数α，α∈R；判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x421)2(xy(3)y=-x221)4(xy(5)y=2x2(6)y=x3+2练一练下面研究幂函数.ayx在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。y=x0研究:y=x2yx3yx12yx1yx知识探究(二)x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…2yx3yx12yx1yxy=x2yx2yx3yx12yx1yx3y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-10123y=x294101494321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-10123y=x3-27-8-1018274321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)1yxx012401212yx24321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0x-3-2-11/2123y=1/x-1/3-1/2-121½1/34321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?在第一象限内，当k0时，图象随x增大而上升。当k0时，图象随x增大而下降不管指数是多少,图象都经过哪个定点?4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)在第一象限内，当k0时，图象随x增大而上升。当k0时，图象随x增大而下降。图象都经过点（1，1）y=x0K0时,图象还都过点(0,0)点y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域值域奇偶性单调性公共点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:12在R上增在［0，+∞）上增，在（-∞，0]上减,在［0，+∞）上增，在(0，+∞)上减(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);(2)如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；(3)如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．幂函数的性质1.判断正误:1.函数f(x)=x+为奇函数.x12.函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0]上是递增的,则f(x)在[0,+)上也是递增的.4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在(-,0]上是递减的,则f(x)在[0,+)上也是递减的.练一练思考4：根据上述五个函数的图象，你能归纳出幂函数在第一象限的图象特征吗？ayxxyoa0a=1a10a1例1.如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。32221mmxmmxf)()(解:依题意,得112mm解方程,得m=2或m=-1检验:当m=2时,函数为3)(xxf符合题意.当m=-1时,函数为1)(0xxf不合题意,舍去.所以m=2理论迁移例2.利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3(3)2.5-25与2.7-25解:(1)y=x0.8在(0,+∞)内是增函数,∵5.25.3∴5.20.85.30.8(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数∵0.20.3∴0.20.30.30.3(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数∵2.52.7∴2.5-2/52.7-2/51）0.51.30.51.525.125.092）3）141.79141.814）223(2)a232＜＜＞≤练一练2.判断下列各值的大小练习3.如图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x=1之间正好相反。C4C2C3C1111,1,2,2则x且xxx,),,0[,2121证明幂函数在［0，+∞）上是增函数.复习用定义证明函数的单调性的步骤:(1).设x1,x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2;(2).作差f(x1)－f(x2)，变形;(3).判断f(x1)－f(x2)的符号；(4).下结论.例3证明:任取xxf)(2121212121))(()()(xxxxxxxxxfxf,2121xxxx).()(,0,0212121xfxfxxxx所以幂函数在［0，+∞）上是增函数.xxf)(证法二:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1x2；证明:幂函数在［0，+∞）上是增函数.1)()(212121xxxxxfxf)()(21xfxf为增函数，在0)(xxf(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出ｆ(x1)ｆ(x2)。()fxx即所以幂函数定义五个特殊幂函数图象基本性质知识结构:课堂小结：三维题目.P99习题