二次函数性质的再研究

§4二次函数性质的再研究1.函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点为，其单调性为.2.函数y＝x2－2x＋1的开口方向向，顶点坐标为，对称轴为，单调增区间为，单调减区间为.(0,1)在(－∞，＋∞)上是增函数上(1,0)x＝1［1，＋∞)(－∞，1］二次函数图象间的变换(1)y＝x2与y＝ax2(a≠0)间的变换纵坐标a左h上k右下hk在二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象变换中，参数“a，h，k”的作用分别是什么？【提示】①a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小；②h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；③k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”.二次函数的图象的平移画出函数y＝12x2－6x＋21的图象，并指出由函数y＝x2如何平移得到y＝12x2－6x＋21？【解析】y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3.顶点坐标是（6，3）对称轴为x=6.利用二次函数的对称性列表：x45678y53.533.55描点连线得到函数y=x2-6x+21的图象如图.平移过程如下：把y=x2的纵坐标缩短为原来的倍，得到函数y=x2，再把y=x2的图象向右平移6个单位，得到函数y=(x-6)2的图象，最后把y=(x-6)2的图象向上平移3个单位，得到函数y=(x-6)2+3的图象.在作二次函数图象时，通过配方直接选出关键点，即顶点.再依据对称性选点，减少了选点的盲目性，二次函数图象的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用.二次函数图象平移规律：1.函数y＝x2的图象平移个单位长度，得到函数y＝(x＋2)2的图象，再平移个单位长度，得到函数y＝(x＋2)2－1的图象.若想要变回原来的函数，则需平移个单位长度，再平移个单位长度.【答案】向左2向下1向上1向右2求二次函数的解析式二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式.【思路点拨】二次函数的一般式是y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c为待定系数，应当根据三个条件，列出三个方程，进而求出待定的系数，写出函数解析式，本题给出的顶点坐标(2,3)还隐含着图象的对称轴x＝2这样一个条件，即.22ba【解析】方法一：设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c.由已知函数图象经过点(2,3)和点(3,1)，函数图象的对称轴是－b2a＝2.得方程组9a＋3b＋c＝1，4a＋2b＋c＝3，－b2a＝2.解这个方程组，得a＝－2，b＝8，c＝－5.∴二次函数解析式为y＝－2x2＋8x－5.方法二：二次函数的顶点式是y＝a(x－h)2＋k，而顶点坐标是(2,3)，故有y＝a(x－2)2＋3，这样只需确定a的值.因为图象经过点(3,1)，所以x＝3，y＝1满足于关系式y＝a(x－2)2＋3，从而有1＝a(3－2)2＋3，解得a＝－2.∴函数解析式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5.方法二：二次函数的顶点式是y＝a(x－h)2＋k，而顶点坐标是(2,3)，故有y＝a(x－2)2＋3，这样只需确定a的值.因为图象经过点(3,1)，所以x＝3，y＝1满足于关系式y＝a(x－2)2＋3，从而有1＝a(3－2)2＋3，解得a＝－2.∴函数解析式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5.运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，但如果已知函数的对称轴、顶点坐标或最值，则将解析式设为y＝(x－h)2＋k会使求解更加方便.具体来说：(1)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再借助于其他条件求a；(2)已知对称轴方程x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再借助于其他条件求a和k；(3)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x－h)2＋n，再借助于其他条件求a和h；(4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x－h)2，再借助于其他条件求a和h.2.已知二次函数y＝f(x)满足以下条件，求该函数的解析式：(1)图象过A(0,1)，B(1,2)，C(2，－1)三点；(2)图象顶点是(－2,3)，且过点(－1,5).【解析】(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知函数的图象经过(0,1)，(1,2)，(2，－1)三点，得c＝1a＋b＋c＝24a＋2b＋c＝－1，解得a＝－2b＝3c＝1，∴函数的解析式为y＝－2x2＋3x＋1.(2)设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其顶点的坐标是(h，k).∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y＝a(x＋2)2＋3.又∵图象过点(－1,5)，∴5＝a(－1＋2)2＋3.∴a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.即函数的解析式为y＝2x2＋8x＋11.1.五点法作二次函数图象的步骤①确定顶点坐标，画出对称轴；②找出关于对称轴对称的四个点；③用平滑曲线连接五个点.如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2(x＋4)2＋k？【错解】要得到y＝2(x＋4)2＋k的图象，只需将y＝2x2的图象向左平移4个单位【错因】没有对k进行讨论，k的正负、上下是不同的.【正解】要得到y＝2(x＋4)2＋k的图象，只需将y＝2x2的图象向左平移4个单位，当k＞0时，向上平移k个单位，当k＝0时，不作平移，当k＜0时，向下平移|k|个单位.1.二次函数y＝x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图象的二次函数是()A.y＝x2＋2B.y＝2x2C.y＝x2D.y＝x2－2【答案】B122.函数y＝x2－5x＋1的对称轴和顶点坐标分别是()A.x＝5，B.x＝－5，C.x＝5，D.x＝－5，【答案】A12235,2235,2235,2235,23.二次函数的顶点坐标为(2，－1)，且过点(3,1)，则解析式为.【答案】y＝2x2－8x＋74.对于二次函数y＝－x2＋4x＋3，(1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标.(2)说明其图象是由y＝－x2的图象经过怎样的平移得来？【解析】∵y＝－(x－2)2＋7，∴(1)开口向下；对称轴方程为x＝2；顶点坐标为(2,7)；(2)先将y＝－x2的图象向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图象.