二次函数的图像和性质

二次函数的图象和性质观察图象,回答问题?(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？23xy213xy在同一坐标系中作出二次函数y=3x²和y=3(x-1)²的图象．知识回顾?二次函数y=-0.5x²,y=-0.5(x+1)2和y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?例3画出函数y=-0.5（x+1）²-1的图像，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x²经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5（x+1）²-1？思考：二次函数y=-0.5(x+1)2-1的图象可以看作是抛物线y=-0.5x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向上平移1个单位后得到的.二次函数y=-0.5(x+1)2-1的图象和抛物线y=-0.5x²,y=-0.5(x+1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样?y=-½(x+1)²-1y=-½x²y=-½(x+1)²对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1);增减性与y=-0.5x2类似.顶点是(-1,-1).开口向下,当x=-1时y有最大值:且最大值是-1.在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?练习对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=-3x2类似.顶点分别是(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?213xy开口向下,当x=1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).2132xyy23xy2132xyX=1与y=-3x²有关哟二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点：（1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=k；（3）顶点坐标是（h，k）。二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：yx例4要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水管应多长？点（1、3）是顶点，知道h=1，k=3，求出a就好啦!点（3、0）在抛物线上，求a没问题。解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是顶点，设抛物线的解析式为Y=a（x-1）²+3（0≤x≤3）点（3、0）在抛物线上，所以有0=a（3-1）²+3∴a=-¾∴y=-¾（x-1）²+3（0≤x≤3）当x=0时，y=2.25，即水管应长2.25m。1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?211.y=2x+3-,2212.y=-x+1-5.32.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.5.填写下表:y=a(x-h)²+k开口方向对称轴顶点坐标a0向上X=k（h、k）a0向下X=k（h、k）;532.12xy;15.0.22xy;143.32xy;522.42xy;245.0.52xy.343.62xy