复变主要内容浏览式总复习

教材：杨，复变，科学出版社参考:吴，复变，华工出版社覃永安主讲31386336，[e-mail]2009.9主要内容浏览式总复习第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章级数第五章留数第六章共形映射第一章、复数与复变函数1.1-1.2复数复数:复数相等是指?虚数?纯虚数?zyzxIm,Re复数的四则运算:)()()()(21212211bbiaaibaiba)()())((122121212211babaibbaaibaiba22222112222221212211))()(bababaibabbaaibaiba复平面:),(:2yxiyxzRC复平面:模：非零复数的辐角：22||yxz复数的共轭：),(yx00Arg22zkkyarctgx主值argz=，-argz一般argz=会用表示argz(关键是记得两者的值域)iyxz复数的三角表示:复数加、减法的几何表示如下图：)sin(cos||ArgziArgzzz2z1z021zz21zz2z2z1z2z基本不等式:||||||)1(2121zzzz、||||||||)2(2121zzzz||||||)3(2121zzzz||||||||)4(2121zzzz|||Im||,||Re|)5(zzzzzzz2||)6(2z1z021zz21zz2z2z1z2z例1试用复数表示圆的方程:0)(22dcybxyxa0dzzzaz得：).(21icb其中，例2设、是两个复数，证明：1z2z21212121,zzzzzzzz11zz三角表示的乘法：||||||2121zzzz2121)(ArgzArgzzzArg三角表示的乘法：2121)/(ArgzArgzzzArg||/|||/|2121zzzz欧拉公式；指数表示式；三种表示式的互化:关键是会用表示幅角。xyarctg复数的乘幂：)sin(cos||nArgzinArgzzznn)]sin()[cos(||nArgzinArgzzznn,sincos)sin(cosninin复数的乘幂：)]1sin()1[cos(||1ArgzniArgznzznn)]2arg1sin()2arg1[cos(||nkzninkznzn可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形。例5、求所有值：解：由于4)1(i)4sin4(cos21ii所以有)]24(41sin)24(41[cos2)1(84kiki)]216sin()216[cos(2)1(84kiki3,2,1,0k有四个根。复球面与无穷大:无穷远点:对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。}{CCuxy)1,0,0(N)1,0,0(SO)0,,(yxA)',','('uyxA无穷远点:关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：它和有限复数的基本运算为：||aa)0(aaa)(0);0(0aaaa这些运算无意义：.0/0,/,0,第一章、复数与复变函数1.3平面点集与区域初步概念:a的r邻域U(a,r)：},,|||{Czrazz以a为圆心，r为半径的闭圆盘定义为：},,|||{Czrazz(,).Uar记为：a的r去心邻域极限点、内点、边界点:中有无穷个点，则称a为的E极限点；若设,,CaCE,则称a为E的内点；EraUr),(,00(,)rUarE若存在，中既有属于E的点，又有不属于E的点，则称a为的E边界点；集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，记为EraUr),(,0.E闭包、孤立点、开集、闭集:称为D的闭包，记为若对存在一个r0，使得EE.E则称a为的E孤立点（是边界点但不是聚点）；开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；1、任何集合的闭包一定是闭集；2、如果存在r0，使得，}{),(aEraU则称E是有界集，否则称E是无界集；),0(rUE无穷远点的邻域:对一切r0,集合称为无穷远点的一个r邻域。类似地，我们可以定义无穷远点为聚点、内点、边界点与孤立点，的开集、闭集等概念。},|||{CzrzzC区域、曲线:复平面C上的集合D，如果满足：（1）、D是开集；（2）、D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。则称D是一个区域。连通性:性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。曲线:设已给)(),(btatzz连续曲线,简单连续曲线,简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。若尔当定理:若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。内区域光滑曲线:光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在[a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。区域的连通性:单连通区域;多连通区域。例5、在扩充复平面上，集合为单连通的无界区域，其边界为}||2|{zz而集合}2|{|z为多连通的无界区域，其边界为：}{}2|{|z}||2|{zz第一章复数与复变函数1.4-1.5复变函数复变函数的定义:注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若记z=x+iy，w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y)。函数的几何意义:函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。函数的几何意义:单射，双射，一一对应，反函数。复变函数极限的定义00)(，，使得如果存在一个复数AA，，都有的一切对满足|)(|)0(||00Azfzzz时的极限。趋于当为函数则称0)(zzzfA)()()(lim00zzAzfAzfzz当或记作复变函数极限与实值函数极限0,0,00000),(lim),(lim)(lim,,),,(),()(00000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz的充要条件是则设函数注解：1、几何意义：2、与重极限的关系：3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）复变函数连续性的定义内连续。在一点连续，则称中每在区域如果处连续。在则称成立如果DzfDzfzzfzfzfzz)()()(,)()(lim000复变函数连续性与实值函数连续性的关系.),(),(),(),(),()(00000续处连在与变函数处连续的充要条件是实在函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf注1、实初等函数在其有定义的地方连续。注解：1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）；2、复合运算；3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、取到极大模和极小模等）。4、同样我们也可以定义非正常极限。例6上不连续。域上连续，在负实数轴实数轴的区个复平面除去原点和负在整求证：)0(arg)(zzzfzzxzxzzxzarglim,arglim,z0Im0Im0000有在负实数轴上时解：当在负实数轴上不连续；故zarg第二章解析函数2.1-2.2解析函数概念及充要条件导数，zzfzzfzfz)()(lim)('0000解析000()()fzzzfzz如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析.Cauchy-Riemann方程.()(,)(,)fzuxyivxyzxiy定理在点可导的充要条件是(,),(,)(,)uxyvxyxyCR在点可微，且满足方程：xvyuyvxu.()(,)(,)fzuxyivxyD定理在区域内解析的充要条件是:(,)(,)uxyvxyDCR和在区域内处处可微，而且满足方程.解析的充要条件'()uvvvxxyxuuvuxyyyffziixii()(,)(,)fzuxyivxyD推论：设在区域内有定义，(,)(,)DuxyvxyCR如果在内和的四个一阶偏导数存在且连续，并且方程成立：,,uvuvxyyx内解析。在则Dzf)(2.3初等函数(1)指数函数与对数函数指数函数的定义：).sin(cosyiyeexz指数函数的基本性质ze在整个复平面解析：zzee)'(,2,1,02||kkyArgeeezxz，0.ze2i周期为：1212zezzzee。z2ieze对数函数的定义：。称为对数函数，记为，的函数满足方程zwzfwzzewLn)()0(0iArg|z|lnLnzzz,w对数函数的主值：,arg||lnlnzizzw,2ln2arg||lnLnikzikzizzw三种对数函数的联系与区别：函数单值与多值xlnzLnzln单值多值单值定义域所有正实数所有非零复数所有非零复数注解一个单值时，0xzxln为zln分支为对数函数的基本性质Ln;wz定义在整个复平面减去原点,多值函数LnLn)Ln(2121zzzz不成立：LnLn)/Ln(2121zzzznLnzLn.nzlnz主值分支在除去原点和负zzz1ddln实轴的复平面上解析，且有2.3初等函数(2)三角函数与反三角函数三角函数的概念:,2sin,2cosieezeeziziziziz三角函数的基本性质:则对任何复数z，Euler公式也成立：cosz和sinz是单值函数；cosz偶，sinz奇;,sincoszizeiz所有三角公式也成立.三角函数的基本性质:cosz和sinz以为周期,零点也与实的一样.2三角函数的基本性质:1|sin|,1|cos|zz不成立:三角函数的基本性质:在整个复平面解析：.cos)'(sin,sin)'(coszzzz其它三角函数,sin1csc,cos1sec,sincoscot,cossintanzzzzzzzzzz反三角函数掌握计算表达式的推导方法2.3初等函数（3）幂函数双曲、反双曲函数幂函数的定义:当a为正实数，且z=0时，还规定)0(Lnzezwzaa.0az,n当是正整数时是一个单值函数；,)(31时是正整数、当nn值函数；是一个n幂函数的基本性质：等于n次方根.0,当是时01;z(0pqpqq当是有理数时，即与为互素的整数，）时q是一个值的函数；幂函数的基本性质：当是无理数或非实数的复数时，是无穷多值函数；\{Im0,Re0}Czz幂函数在上解析，且幂函数的基本性质：1ddaazazz其中应当理解为某个分支。az双曲函数zzzzzzzzzzzeeeeth,2eesh,2eechchz和shz以2i为周期,chz偶,shz奇(chz)'=shz,(shz)'=chz反双曲函数计算公式的推导方法类似于反三角函数第三章复变函数的积分3.1复积分的概念复变函数积分的定义准备:有向曲线，记号C，C-.简单闭曲线的正方向。（逆时针,或指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时,邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方)定义设w