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DepartmentofMathematics第三节初等多值函数7、幂函数第二章复变函数幂函数的定义:利用对数函数,可以定义幂函数:设a是任何复数,则定义z的a次幂函数为当a为正实数,且z=0时,还规定)0(Lnzezwzaa由于.0az)arg,01(ln2lnzeezwikazaaazwz,0),(2Zkeika因此,对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子个数。,2时是正整数、当n性,幂函数一般是、由于对数函数的多值1.0||arg)]2(arg||ln[Lnzinnkziznznnezeezw是一个单值函数;,)(31时是正整数、当nn)]2(arg||ln[Ln111kzizznnneezw值函数;是一个n).1,,2,1,0(||2arg1nkeznkzni不同数值的个数等于数整个复平面上的多值函(。不同因子的个数)2ike幂函数的基本性质:,04时是、当;10Lnz00eez):的整数,为互素与是有理数时,即、当0(5qqpqppkizkzizqqpqpqpqpeeez2ln)]2(arg||[lnLnz1取,当为互素,所以不难看到与由于kqp个不同的值,即这时,得到,,,qq1,210值的函数;时幂函数是一个q幂函数的基本性质:多值函数;函数是无穷是无理数或复数时,幂、当6是无理数时,有事实上,当kizkzizeeez2ln)]2(arg||[lnLnz幂函数的基本性质:时,有当)0(bbia)]2(arg||)[ln()]2(arg||[lnLnzkzizbiakzizeeez)]2(arg||ln[)]2(arg||)[ln(kzazbikzzbae例如),2,1,0(2)]2(arg1[lnLni2keeeikkiiiiiikkieee222ln2)]22(arg2[ln2Ln2222),2,1,0,(k)2lnsin2ln(cos22iek)]22)[ln1()]22(arg2)[ln1(Ln2)1(12ikikiiiieee)22(ln)22(ln22ln22lnkikkiikee),2,1,0(2222keik上解析,、幂函数在}0Re,0{Im\7zzC幂函数的基本性质:幂函数的基本性质:设在区域G内,我们可以把Lnz分成无穷个解析分支。对于Lnz的一个解析分支,相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则,的这个单值连续分支在G内解析,并且其中应当理解为对它求导数的那个分支,lnz应当理解为对数函数相应的分支。azazwzzaezazwazaln1ddaz幂函数的基本性质:对应于Lnz在G内任一解析分支:当a是整数时,在G内有n个解析分支;当a是无理数或虚数时,幂函数az)1(nnma既约分数,azaz在G内是同一解析函数;当时,在G内有无穷多个解析分支,是一个无穷值多值函数。幂函数的基本性质:例如当n是大于1的整数时,称为根式函数,它是nnzzw1nwz0z),arg(||)2(arg121)arg||(ln121ln1Zkzezeeeezwkzniniknzizniknznn的反函数。当时,有这是一个n值函数。幂函数的基本性质:在复平面上以负实轴(包括0)为割线而得的区域D内,它有n个不同的解析分支:它们也可以记作)1,...,1,0;arg(||)2(arg1nkzezwkznin这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值,与相应的连续分支在该处所取的值一致。)1(21kninnezw支点:当a不是整数时,原点及无穷远点是为了理解这些结论,我们在0或无穷远点的充分小的邻域内,任作一条简单闭曲线C围绕0或无穷远点。在C上任取一点,azw1z11argz1z)(lniArgzzaaezw111ln)arg(lnzazizaee1z的支点。但按照a是有理数或者a不是有理数,这两个支点具有完全不同的性质。确定Argz在的一个值;相应地确定在的一个值代数支点:现在考虑下列两种情况:(1)a是有理数也即第一次回到了它从1z)1(nnm既约分数,1n21nmzw)||(lnln111iznmznmee11ln)2(lnznmnznmee1znmzw,当一点z从出发按反时针或顺时针方向连续变动n周时,argz从连续变动到而则从相应地连续变动到出发时的值。这时,我们称原点和无穷远点是的n-1阶支点,也称n-1为阶代数支点。无穷阶支点:(2)a不是有理数时,容易验证原点和无穷远点是azw当a不是整数时,由于原点和无穷远点是azw1K1D1Dazw的无穷阶支点。的支点,所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线,得一个区域。在内,可以把分解成解析分支。幂函数的映射性质:关于幂函数当a为正实数时的映射性质,有下面的结论:设是一个实数,并且在z平面上取正实数轴(包括原点)作为割线,得到一个区域D*。考虑D*内的角形,2,0a并取在D*内的一个解析分支zAarg0:)11(aazwazw幂函数的映射性质:当z描出A内的一条射线时让从0增加到(不包括0及),那么射线l扫过角形A,而相应的射线扫过角形0arg:zl01arg:awl01lawAarg0:1a(不包括0),w在w平面描出一条射线幂函数的映射性质:因此)11(aazw1Aaa把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形,同时,这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。类似地,我们有,当n(1)是正整数时,)1,...,2,1,0()1(21nkezwkninn幂函数的映射性质:nzwnkwnk)1(2arg2的n个分支分别把区域D*双射成w平面的n个角形例1、作出一个含i的区域,使得函数例1:,)2)(1(zzzw)]}2Arg()1Arg(Arg[2exp{|)2)(1(|2/1zzzizzzw在这个区域内可以分解成解析分支;求一个分支在点i个的值。解:我们知道可能的支点为0、1、2与无穷,具体分析见下图例1:结论:0、1、2与无穷都是1阶支点。012012012012可以用正实数轴作为割线,在所得区域上,函数可以分解成单值解析分支。同时,我们注意到例1:),2[因此也可以用[0,1]与作割线。012我们求函数下述的解析分支例1:在z=i的值。在z=1处,取)6)1((,)2)(1(iwzzzw,)2arg()1arg(argzzz在w的两个解析分支为:)1,0(|)2)(1(|)]2(arg)1(arg[arg22/1kezzzwikzzzi如下图,例1:,21arctan)2arg(23)1arg(,2argiii所以.1010)(31arctan24)21arctan4(24iieeiw201i例2、验证函数例2:,)1(43zzw,|)1(|)]-Arg(13Arg[44/13zziezzw在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支;求出这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值及函数在(0,1)下沿的值。解:我们知道例2:01,增加变,所以不,增加2/arg)1arg(2argwzz01,增加变,所以不,增加4/3argarg2)1arg(wzz例2:结论:0、1是3阶支点,无穷远点不是支点。回到同一个分支。增加,所以也增加,增加,24/)232(arg2)1arg(2argwzz01例2:因此,在区域D=C-[0,1]内函数可以分解成解析分支;若在(0,1)的上沿规定,0)1arg(argzz在w的四个解析分支为:则对应的解析分支为k=0。在z=-1处,有,),3,2,1,0(,|)1(|2)]-(1arg3[arg44/13kezzwikzzi,02arg)1arg(,argzz例2:所以),1(28)1(444iewi,变为所以,减少不变,沿时,的上沿变到下从沿曲线2/3arg2)1arg(arg)1,0(1wzzCz012C1C,为同一个分支,变为不变,所以增加的上沿变到下沿时,从沿曲线2/arg)1arg(2arg)1,0(2wzzCz.)1(43xxiw对应分支在(0,1)下沿的取值为It’sTheEnd!ThankYou!ComplexFunctionTheoryDepartmentofMathematics
本文标题:复变函数与积分变换23
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