复变函数与积分变换第1章

1复变函数与积分变换复数和复平面解析函数复变函数的积分解析函数的级数表示留数理论及其应用拉普拉斯变换2复变函数的理论和方法在数学,自然科学和工程技术中有着广泛的应用,是解决诸如流体力学,电磁学,热学,弹性理论中的平面问题的有力工具.而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展,丰富了它的内容.复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。3第一章复数和复平面复数复平面点集扩充复平面及其球面表示4§1.1复数51.复数的概念在实数范围,方程x2=-1是无解的.引进一个新数i,称为虚数单位,并规定i2=-1从而i是方程x2=-1的一个根.对于任意二实数x,y,称z=x+iy或z=x+yi为复数,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)6当x=0,y0时,z=iy称为纯虚数;当y=0时z=x+0i,将其看作是实数x.两个复数相等,是指的它的实部和虚部分别相等.复数z=0,是指的实部和虚部都是0.与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.72.复数的代数运算两个复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2的加法,减法和乘法定义为:(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2)(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)当z1,z2为实数时,上二式与实数的运算一致.8称满足z2z=z1(z20)的复数z=x+iy为z1除以z2的商,)5.1(,22222112222221212121yxyxyxiyxyyxxzzzzzz-===因此记作9复数运算满足交换律,结合律和分配律:z1+z2=z2+z1z1z2=z2z1z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3z1(z2+z3)=z1z2+z1z310把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z.)Im(2),Re(2)iv;)Im()Re()iii;)ii;,,)i:22212121212121zizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz=-======共轭复数的性质iyxziyxz-==则如果,11例设z1=5-5i,z2=-3+4i,求与12zz12zz[解]1255(55)(34)34(34)(34)(1520)(1520)712555ziiiziiiii----==-------==--所以127155ziz=-12例设求Re(z),Im(z)与131izii=---zz[解]133(1)1()(1)(1)33312222iiiiziiiiiiiii=--=----=--=-所以2231Re(),Im()22315222zzzz==-=-=133复数的向量表示和复平面复平面由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)碓一确定,所以对于平面上的直角坐标系,复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系,从而复数z=x+iy可以用该平面上的坐标为(x,y)的点来表示,这是复数的一个常用表示方法.此时,x轴称为实轴,y轴称为虚轴,两轴所在的平面称为复平面或z平面.14在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量OP来表示.向量的长度称为z的模或绝对值,记作)1.1(||22yxrz==OxyxyqPz=x+iy15显然,下列各式成立|,||||||,||||,|||yxzzyzxOxyxyqPz=x+iy16在z0的情况,以正实轴为始边,以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角,记作Argz=q这时,有xyz=)tg(ArgOxyxyqPz=x+iy17任何一个复数z0有无穷多个幅角,如果q1是其中的一个,则Argz=q1+2kp(k为任意整数)给出了z的全部幅角.OxyxyqPz=x+iy当z=0时,|z|=0,幅角不确定.18在z(0)的幅角中,将满足pq0p的q0称为Argz的主值,记作q0=argzOxyxyqPz=x+iy19argz可由下列关系确定:arctg,0,0,02argarctg,0,0,0,0argtg.22yxxxyzyxyxxyyxppppp===-其中20-=在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanargpparctan22yxpp-其中说明：当z在第二象限时，arg022zppqpqp=--tan()tan()tanyxqppqq-=--==arctanyxqp-=arctan.yxqp=21由复数运算法则,两个复数z1和z2的加减法和相应的向量的加减法一致.Oxyz1z2z1+z2成立不等式|z1+z2||z1|+|z2|(三角不等式)22减法:Oxyz1z2z1-z2-z2|z1-z2|||z1|-|z2||23一对共轭复数z和z在复平面内的位置是关于实数轴对称的,因而|z|=|z|,如果z不在负实轴和原点上,还有argz=-argzOxyiyxz=iyxz-=24利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcosq,y=rsinq,可以将z表示成三角表示式:z=r(cosq+isinq),(1.8)利用欧拉公式eiq=cosq+isinq，得指数表示式:z=reiq(1.9)OxyxyqPz=x+iy4复数的三角表示和指数形式25例1将下列复数化为三角表示与指数表示.1)122;2)sincos.55zizipp=--=[解]1)||1244.rz===z在第三象限,因此235arctgarctg.3612qppp-=-=-=--因此56554cos()sin()466izieppp-=--=262)显然,r=|z|=1,又3sincoscos,525103cossinsin52510pppppppp=-==-=因此31033cossin1010izieppp==1)122;2)sincos.55zizipp=--=275复数的乘幂与方根乘积设有两个复数z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)=r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]于是|z1z2|=|z1||z2|=r1r2(1.11)Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,(1.12)结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.28z1z2相当于将z1的模扩大|z2|倍并旋转一个角度Argz2q2z2q1z1z1z21Oxy29如果用指数形式表示复数:)(212122112121ee,eqqqq===iiirrzzrzrz则乘积可简明地表示为)(212121212121e)]sin()[cos(),,,2,1(),sin(cosnkinnnnnkkkikkrrrirrrzzzznkirerzqqqqqqqqqqqq======则由此逐步可证,如果30商当z10时,有12121212112211221122ArgArgArg,||||ArgArgArg|,|||zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz-=====于是因此结论：两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.31如果用指数形式表示复数:,e,e212211qqiirzrz==)(121212eqq-=irrzz上述结论可简明地表示为32乘幂n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn.个nnzzzz=则对任意正整数n,我们有zn=rn(cosnq+isinnq).(1.14)如|z|=1,则(棣莫弗(DeMoivre)公式).(cosq+isinq)n=cosnq+isinnq.(1.15)33方根设z为己知,方程wn=z的根w称为z的n次根,为整数记作nzzwnn,/1==1ee1ee11e,e,1,123322332332323=====---ppppppiiiiii及这是因为有三个值如n为正整数,则一个复数的n次根不止有一个,而是有n个,这是很麻烦的事情.例如34在z已知时求方程wn=z的根w,令z=r(cosq+isinq),w=r(cosj+isinj),则rn(cosnj+isinnj)=r(cosq+isinq)于是rn=r,cosnj=cosq,sinnj=sinq后两式成立的充要条件为nj=q+2kp,(k=0,1,2,).351/22cossinnnkkwzrinnqpqp==12,nkrnqprj==inknerpq21=36当k=0,1,2,…,n-1时,得到n个相异的根,而当k以其它整数值代入时,这些根又重复出现.在几何上,z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点37例求：41.i12cossin,44iipp=[解]因为所以44224412cossin,44(0,1,2,3)kkiikpppp==38即808182832cossin,1616992cossin,161617172cossin,161625252cossin.1616wiwiwiwipppppppp====39四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.2821+iw0w1w2w3Oxy40§1.2复平面点集411.平面点集的几个概念平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0|z-z0|d所确定的点集为z0的去心邻域.dz042设E为一平面点集,z0为E中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于E,则称z0为E的内点.如果E内的每个点都是它的内点,则称E为开集。43平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.区域z2z1不连通44设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.45区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|M,则称D为有界的,否则称为无界的.xyDO46满足不等式r1|z-z0|r2的所有点构成一个区域,而且是有界的,区域的边界由两个圆周|z-z0|=r1和|z-z0|=r2构成,称为圆环域.如果在圆环域内去掉一个(或几个)点,它仍然构成区域,只是区域的边界由两个圆周和一个(或几个)孤立的点所构成。z0r2r147无界区域的例子xyxyxy上半平面:Imz0角形域:0argzjjab带形域:aImzb482.单连通域与多连通域在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(