对数与对数的应用

對數與對數的應用組員：許為明、黃楷甯、褚雪惠一、數學單元主題教材內容分析教學重點：1.對數的基本定義與定律2.對數常用基本定律3.對數的換底公式.連鎖公式.變形公式4.對數函數的圖形與性質5.對數方程式與對數不等式6.對數表及科學記號的使用7.生活中的對數應用1.對數的基本定義設a＞0,a≠1,當ax＝b時,以符號logab表示x,即ax＝bx＝logab(指數關係)(對數關係)Ex.3x2＝2x＝log32logab稱之為以a為底數,b之對數；其中b叫真數記憶方式：右手轉基本性質logab＝xax＝bExample1.1滿足2x＝8的x值為何？Sol.顯然23＝8故x＝3問log28之值為何？Sol.由定義知x＝log282x＝8又由上題得知23＝8故可得知log28＝32.對數常用基本定律設a＞0,r＞0,s＞0(1)logaa＝1(2)loga1＝0(3)logaax＝x(4)alogax＝xlogars＝logar+logasloga＝logar-logasr)logts＝(rlogasatsrExample2.1化簡Sol.原式22127＋log＋log28log4312212171＝)431＋(3)1＋(37＝2log2233＋log132＋log232＝2＋log3＋log2＝log2322323372221237Example2.2設x≠0,則logx2＝？Sol.logx2＝log|x|2＝2log|x|(因為真數必須是正數才有意義)3.對數的換底.連鎖.變形公式換底公式：連鎖公式：變形公式：alogrlogr＝logbbanana3a2aa＝logalogalogalog11n21alogxlogbb＝xaExample3.1(利用換底＋連鎖公式)若log23＝a,log37＝b,以a,b表log4256.Sol.利用換底公式,取2當新的底數原式＝又由連鎖公式知log27＝log23×log37＝ab∴log4256＝73＋log1＋log73＋log＝7)3(2log7)(2log＝42log56log222232221＋a＋ab3＋abExample3.2(利用連鎖公式化簡)設a,b,c,dR+-{1}且a2＝c3,c2＝e5,求(logab)(logbc)(logcd)(logde)之值.Sol.已知,由連鎖公式知原式＝logae＝52232532e＝ca＝c＝ce＝ca154c＝log2352＝clogc52c23Example3.3(善用變形公式簡化問題)解2(xlog3)(3logx)－5xlog3－3＝0.Sol.令u＝xlog3＝3logx,則原式：2u2－5u－3＝0,解得u＝或3但u＝3logx＞0,故僅取u＝3,即3logx＝3,則logx＝1,∴x＝10214.對數函數的圖形與性質指對數的反函數關係底數和圖形的關係Example4.1對數函數的增減特性對數函數的增減特性Example4.2(利用真數和底數決定大小關係)設,比較a,b,c,d之大小順序.※解答見下頁投影片)31(d＝log3,c＝log),21(b＝log2,a＝log)21()21()31()31(Sol.1.觀察底數與真數是否同時大於1或小於1：得知a＜0,b＞0,c＜0,d＞02.由底數判斷函數的增減：因為a,c底數為＜1,故為減函數,由此得知a＞c3.化簡再用函數增減特性比較：由1.2.3得知c＜a＜b＜d2112log3log)31(logd1,3log2log)21(logb22)(33)(21315.對數方程式及對數不等式1.設0＜a≠1,則logax1＝logax2x1＝x2＞02.(1)設a＞1,則0＜x1＜x2logax1＜logax2(2)設0＜a＜1,logax1＜logax2x1＞x2＞0Note.解對數不等式及對數方程式時,千千萬萬要注意到真數與底數的限制!！Example5.1(解對數方程式時請注意解的範圍)解log6x＋log6(x2－7)＝1Sol.Example5.2(解對數不等式請小心限制範圍)解log2x＋logx2＜Sol.216.對數表及科學記號的使用常用對數與科學記號常用對數：一般以10為底數之對數log10x,以logx表之,稱之為常用對數.科學記號：若a＞0,則可化為a＝b×10,其中nZ且1≦b＜10,稱為科學記號表示法.首數與尾數之運用巨大數字之處理原理:若x＞1且logx＝n＋c,其首數n≧0,尾數c＜1,則x之整數部分為n＋1位數分析n≦logx＝n＋c＜n＋110x≦x＜10n+1又10x為最小的n＋1位正整數∴x之整數部分為n＋1位數Example6.1(1)27100＋5200整數部分為幾位數？首位數字？(2)1＋3＋32……＋380之和為幾位數？首位數字？Sol.微小數字之處理原理:若0＜x＜1且logx＝n＋c,其首數n＜0,尾數c＜1,則x之有效數字自小數點後面第|n|位開始Example6.2若()66在小數點後第k位始出現不為0之數字p,求序組(k,p)＝？Sol.76對數表與內差法：Example6.3已知log3.42＝0.5340,log3.43＝0.5353,若logx＝-3.4650,求x值.(取四位有效數字的近似值)Sol.7.生活中的對數應用本利和之計算設本金A,每期利率為r,期數為n1.單利本利和＝A(1＋nr)2.複利本利和＝A(1＋r)n3.年利率1分＝10％,1厘＝1％月利率1分＝1％,1厘＝0.1％Example7.1(利用查表求本利和)※解答見下頁投影片Sol.二.教學網頁設計理念加入跟生活有關的對數問題啟發學生的興趣藉由簡易的基本公式讓學生導入對數的概念運用簡單的Flash讓網頁生動有趣味三.教學網頁教學目標能熟知各個對數的基本公式能將基本公式靈活運用能將對數和生活連結四.網頁設計規劃流程教學網頁規劃PPT檔(97年11月10日前)網頁文字部分(97年11月17日前)網頁圖片影片部分(97年11月25日前)網頁互動部分(97年12月2日前)網頁評量部分(97年12月9日前)網頁製作最後檢視(97年12月16日前)數學單元教學網頁並上傳(97年12月23日前)五.參考資料南一高中數學第二冊龍騰高中數學第二冊經典高中數學參考書徐氏高中數學參考書THEEND