工程力学第六章杆件的应力

1应力：内力在截面上的聚集程度，以分布在单位面积上的内力来衡量；单位：帕斯卡（Pa），或kPa,MPa,GPa正应力垂直于截面的应力切应力平行于截面的应力•1Pa=1N/m2,1MPa=106Pa，1GPa=103MPa=109Pa第六章杆件的应力6-1应力的概念2•一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到dAdFAFplim0A应力的国际单位为Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）1MPa=106Pa1GPa=109Pa应力总量P可以分解成:垂直于截面的分量σ－－正应力平行于截面的分量τ－－切应力应力目录A4F3FF4F3FpCAFp•平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度30000正负号规定：正应力拉为正，压为负。切应力顺时针为正，逆时针为负46-2应变的概念(正应变和切应变),胡克定律正应变：微体在某一方向上长度的改变量与原长度的比值的极限值称为微体在此方向上的正应变e。拉伸变细变长压缩变短变粗5切应变：当微体的棱长发生改变时，相邻棱边之夹角一般也发生改变。微体相邻棱边所夹直角的改变量称为切应变g切应变的单位为rad(弧度)6线应变:ssuABABeuselimsus0平均线应变：7角应变gdxdy8练习9一拉压胡克定律实验表明，在比例极限范围内，正应力与正应变成正比，即引入比例系数E，则胡克定律比例系数E称为弹性模量10二剪切胡克定律gg在纯剪状态下，单元体相对两侧面将发生微小的相对错动，原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量g。两正交线段的直角改变量——剪应变11•薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当剪应力不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应变成正比•G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律gG即：当p时引入比例系数G，则126-3拉压杆的正应力一拉压杆横截面上的应力拉压杆的平面假设：在轴向载荷作用下，变形后，横截面仍保持平面，且仍与杆轴垂直，只是横截面间沿杆轴作了相对平移。13PN如果杆的横截面积为：AAN根据平面假设，我么可以得出结论，即横截面上每一点存在相同的拉力在轴向载荷下，横截面上正应力计算式为：正应力与轴力具有相同的正负符号，即拉应力为正，压应力为负。14例图示矩形截面（bh）杆，已知b=2cm，h=4cm，P1=20KN，P2=40KN，P3=60KN，求AB段和BC段的应力ABCP1P2P315P1N10PN11KN20PN11MPa25mm/N25mm4020N100020AN22111压应力P3N20PN32KN60PN32压应力MPaAN7522216例图示为一悬臂吊车，BC为实心圆管，横截面积A1=100mm2，AB为矩形截面，横截面积A2=200mm2，假设起吊物重为Q=10KN，求各杆的应力。30ABC17首先计算各杆的内力：需要分析B点的受力QF1F2xy0X0F30cosF210Y0Q60cosF1KN20Q2F1KN32.17F321F121830ABCQF1F2KN20Q2F1KN32.17F321F12BC杆的受力为拉力，大小等于F1AB杆的受力为压力，大小等于F2由作用力和反作用力可知：最后可以计算的应力：BC杆：MPa200mm100KN20AFAN211111AB杆：MPa6.86mm200KN32.17AFAN22222219二圣维南原理当作用在杆端的轴向外力，沿横截面非均匀分布时，外力作用点附近各截面的应力，也是非均匀分布的。但圣维南原理指出，力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1~2个杆的横向尺寸。此原理已为大量试验与计算所证实。用与外力系静力等效的合力代替原力系，除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域稍远处，上述代替影响非常微小，可以略而不计。20三应力集中应力集中：杆件外形突变，引起局部应力急剧增大的现象由于结构的需要，构件的截面尺寸往往会突然变化，例如开孔、沟槽、肩台和螺纹等，局部的应力不再均匀分布而急剧增大1.应力集中的概念21应力集中系数平均应力2应力集中对构件强度的影响对脆性材料而言，应力集中现象将一直保持到最大局部应力到达强度极限，故在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。对塑性材料而言，应力集中对其在静载作用下的强度几乎没有影响，故在研究塑性材料构件的静强度时，一般不考虑应力集中的影响。22交变应力（或循环应力）：随时间循环变化的应力在交变应力作用下的构件，虽然所受应力小于材料的静强度极限，但经过应力的多次重复后，构件将产生可见裂纹或完全断裂。疲劳破坏：在交变应力作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象。应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件的疲劳强度影响很大236-4切应力互等定理与剪切胡克定律一薄壁圆管的扭转应力平面假定应变分布物性关系应力分布静力方程应力表达式试验观察加载前画横向圆周线及纵向线24TT加载后：25加载后现象：TT1、各纵向线倾斜同角度2、各圆周线大小形状间距不变26ABCDABCDg´管壁扭转时的应力变形特征上述变形现象表明：微体ABCD既无轴向正应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd之间发生相对错动，即产生剪切变形；而且，沿圆周方向所有的剪切变形相同。由于管壁很薄，故可近似认为管的内外变形相同，则可认为仅存在的垂直于半径方向的切应力沿圆周大小不变。27mm剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径与周线相切TT28•根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。rATAddAdArATAdrrtT2Trt22r29二纯剪切与切应力应力互等定理dxtdy()()tyxtxydddd微元体单元体纯剪切：单元体上只有剪应力而无正应力。30•剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。316-5圆轴扭转时横截面上的应力一、扭转切应力的一般公式从三方面考虑：变形几何关系物理关系静力学关系32观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度γ（3）表面方格变为菱形。1.变形几何关系33•平面假设：•变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。g34ggdgddrxxrddg35gddxgddx横截面上距形心为的任一点处应变g在外表面上36•根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时gG•剪应力方向垂直于半径2.物理关系Gxdd37•3.静力学关系dAdAoAATdAGxATdddGxATAddd2令IApA2d则ddxTGIp—截面的极惯性矩38ddxTGIpGxddGTGIpTIp于是再由物理关系得二、最大扭转切应力maxmaxTIp当＝max时，＝max抗扭截面系数39maxmax406-6极惯性矩和抗扭截面系数一、实心圆截面doIApA2d2022dd/2302dd/2244dd432Idp2d31641二、空心圆截面IApA2d对于空心圆，外径为，内径为Dd2222ddD//()Dd4432WItpmaxIDp2D34161()D44132()=d/D42已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大剪应力。43N1=14kW,N2=N3=N1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1z3z1=1203612=360r/minT1=1114N.mT2=557N.mT3=185.7N.mmax(C)==21.98MPaT3Wp3max(H)==22.69MPaT2Wp2max(E)=T1Wp1=16.54MPa44一、概述：当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩M，又有剪力Q。只有与正应力有关的法向内力元素dN=dA才能合成弯矩只有与剪应力有关的切向内力元素dQ=dA才能合成剪力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有剪应力§11-1引言QM45弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力基本变形：拉压；扭转；弯曲组合变形：对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，且外力作用在对称面内，此时变形对称于纵向对称面，在这种情况下的变形形式称为对称弯曲。46§11-2对称弯曲正应力一基本假设用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:纯弯曲：梁横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲。47•观察到以下变形现象:•(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长•(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的aa，bb垂直•(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。•梁的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。48•单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。由平面假设得到的推论：梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴49中性轴中性层中性层50二弯曲正应力一般公式•从三方面考虑：•变形几何关系•物理关系•静力学关系1变形几何关系中性轴51由于距中性层等远各“纤维”的变形相同，所以，上述正应变e即代表纵坐标y的任一“纤维”的正应变该式说明，e和y成正比,而与z无关。因而，e与这些纵向线段沿z轴的位置无关。522物理关系eEEy正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力为零上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定；2）式中未知，（若已知M，与M有何关系？）53将梁的轴线取为x轴，横截面的对称轴取为y轴，中性轴取为z轴。OxyZ3静力学关系54在横截面上法向内力元素dA构成了空间平行力系。因此，只可能组成三个内力分量通过截面法，根据梁上只有外力偶m这一条件可知，上式中的N和My均等于零，而Mz就是横截面上的弯矩M。NAxAdMzAyAdMyAzAd00M55截面几何参数的定义，可得将正应力ρyEEεσ代入以上三个条件，并根据有关的56这就确定了中性轴的位置。即过形心与y轴垂直。0SzZCZ中性轴C横截面对Z轴的静矩必过截面形心中性轴Z57中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。0Iyz因为y是对称轴，所以该式自动满足截面对yz轴的惯性积58由式可得IEMρz1EIz称为抗弯刚度将上式代入ρyEEεσ得AzdAyI2截面对z轴的惯性矩MyIz591MEIz中性轴过截面形心中性层的曲率公式：正应力计算公式：：梁截面的弯曲刚度，简称弯曲刚度M横截面上的弯矩Iz横截面对中性轴的惯性矩y求应力的点到中性轴的距离式中：MyIz60zIMy横截面上某点正应力该点到中性轴距离该截面弯矩该截面惯性矩61当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力。梁在此剪应力使横截面发生翘曲。横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力。横力弯曲时，梁的横截面上既又正应力，又有剪应力。纯弯曲时所作的平面假设和各纵向线段间互不挤压的假设都不成立。但工程中常用