数值分析积分上

第七章数值积分与微分（上）第七章目录§1数值积分的基本概念1.1构造数值求积公式的基本思想1.2代数精度1.3插值型求积公式§2牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式2.1牛顿一柯特斯公式2.2几种低价N-C求积公式的余项2.3牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性§3复化求积公式3.1复化梯形公式3.2复化Simpson公式与复化Cotes公式第七章目录§4变步长方法（逐次分半算法）4.1梯形公式的逐次分半算法4.2Simpson公式的逐次分半算法§5龙贝格（Romberg）求积公式5.1外推法5.2Romberg求积公式§6高斯（Gauss）型求积公式§7数值微分序(1)计算定积分的值是经常遇到的一个问题，由微积分理论知道：只要求出f(x)的一个原函数F(x)，就可以利用牛顿—莱布尼慈（Newton-Leibniz）公式出定积分值：baxxfd)(baaFbFdxxfI)()()(但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往往会遇到下面情况：1.函数f(x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验测试数据形成的表格或图形。序(2)3.f(x)的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。等321,ln1,sin,,sin)(2xxxexxxfx2.f(x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。同样，对函数f(x)求导，也有类似的问题，需要研究数值微分方法。§1数值积分的基本概念1.1构造数值求积公式的基本思想定积分I=∫abf(x)dx在几何上为x=a,x=b,y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于这个曲边梯形中有一条边y=f(x)是曲边，而不是规则图形。由积分中值定理，对连续函数f(x)，在区间[a,b]内至少存在一点，使：)()()(fabdxxfIba也就是说，曲边梯形的面积I恰好等于底为（b-a），高为f()的规则图形—矩形的面积（图7-1），f()为曲边梯形的平均高度，然而点的具体位置一般是不知道的，因此难以准确地求出f()的值。但是，由此可以得到这样的启发，只要能对平均高度f()提供一种近似算法，便可以相应地得到一种数值求积公式。图7-1abξ)(xfy)(f构造数值求积公式的基本思想（续）如，用两端点的函数值f(a)与f(b)取算术平均值作为平均高度f()的近似值，这样可导出求积公式：中矩形公式取梯形公式2)()(,2))()((2)(bafabdxxfIbabfafabdxxfIbaba更一般地，可以在区间[a,b]上适当选取某些点xk(k=0,1,…,n)，然后用f(xk)的加权平均值近似地表示f()，这样得到一般的求积公式：1)-(7)()(0nnkkkbaIxfAdxxfI其中，点xk称为求积节点，系数Ak称为求积系数，Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式，即xk决定了，Ak也就相应的决定了。构造数值求积公式的基本思想（续1）回顾定积分的定义，积分值I是和式的极限：nkkkxMaxnbaxxfdxxfIknk00)(lim)(0或其中xk是[a,b]的每一个分割小区间的长度，它与f(x)无关，去掉极限，由此得到近似计算公式：nkkknkkkbaxfAxxfdxxfI00)()()(因此，式（7-1）可作为一般的求积公式，其特点是将积分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积分，也非常便于设计算法。便于上机计算。求积公式（7-1）的截断误差为：nkkkbannxfAdxxfIIRfR0)()()(Rn也称为积分余项。1.2代数精度数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的概念。定义1如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成立，而至少对一个m+1次多项式不精确成，则称该公式具有m次代数精度。一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用，由定义1容易得到下面定理。定理1一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求积公式对1,x,x2,…,xm精确成立，而对xm+1不精确成立。代数精度(续1）试验证梯形公式具有一次代数精度。例1.,1.,,),(2),(31d,)(.2)(2),(21d,)(.,)11(2d1,1)(,22233222222一次梯形公式的代数精度为知故由定理不精确成立即公式对右端左端此时右端左端时当公式也精确成立右端左端时当此时公式精确成立右端左端时当对于梯形公式解xbaababxxxxfabbaababxxxxfabababxxfbababa同理可证明矩形公式的代数精度也是一次的代数精度（续2）上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公式。例如，对于求积公式（7-1），若事先选定一组求积节点xk(k=0,1,…,n,)，xk可以选为等距点，也可以选为非等距点，则可令公式对f(x)=1,x,…,xn精确成立，即得：2)-(71211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn这是关于A0、A1、…、An的线性方程组，系数行列式为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在唯一的一组解。求解该方程组即可确定求积系数Ak，所得到的求积公式（7-1）至少具有n次代数精度。代数精度举例例2确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度。解求积公式中含有三个待定参数，可假定近似式（7-3）的代数精度为m=2，则当f(x)=1，x，x2时，式（7-3）应准确成立，即有：代回去可得：)37()()0()()(101hfAfAhfAdxxfIhh34,3)(32)(02011112311101hAhAAAAhhAAhAAAh)47()(3)0(34)(3)(hfhfhhfhdxxfhh公式（7-4）不仅对特殊的次数不高于3次的多项式f(x)=1,x,x2,x3准确成立，而且对任意次数不高于3次的多项式,a0+a1x+a2x2+a2x3（f(x)=1,x,x2,x3的线性组合）也准确成立，事实上，令R(f)表式（7-4）的截断误差：hhhfhfhhfhdxxffR))(3)0(34)(3()()(检查（7-4）对m=3是否成立，为此，令f(x)=x3代入（7-4），此时左边。,3)(333右边hhhh),(3)(344hhhh右边左边再检查（7-4）对m=4是否成立，令f(x)=x4代入（7-4），此时:因此近似式（7-4）的代数精度为m=3.代数精度举例（续1）由于对任意的常数,和函数f(x)，g(x)成立:)()()(gRfRgfR00000)()()()1()(332210332210xRaxRaxRaRaxaxaxaaR因此：这表明，误差对f(x)=1,x,x2,x3准确成立，则对它们的任意线性组合a0+a1x+a2x2+a3x3也准确成立，所以通常检查一个求积公式是否具有m次代数精度，只需检查对f(x)=1,x,…,xm是否准确成立即可。上述方法称为待定系数法！代数精度举例（续2）待定系数法注释注1：由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。注2：因此，希望由待定系数法确定的求积公式的代数精度越高越好，通常的方法是要确定n+1个待定系数。可设求积公式具有n次代数精度，去建立n+1个方程求解，否则的话，只设其具有0次代数精度，建立1个方程也可以求出n+1个待定参数.上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。1.3插值型求积公式nkkknxlxfxL0)()()(其中lk(x)为插值基函数。取f(x)Ln(x)，则有：nkkbakbankkkbanbaxfxxlxxlxfxxLxxfI00)(d)(d)()(d)(d)(记：5)-(7),,1,0(d)(nkxxlAbakknknkkbaIxfAxxfI0)(d)(则有：设给定一组节点ax0x1…xn-1xnb，且已知f(x)在这些节点上的函数值，则可求得f(x)的拉格朗日插值多项式：插值型求积公式（续）这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为插值型求积公式。根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：其中[a,b]且与x有关。在插值中，因f(x)不知道，所以无法估计插值误差。而在这里，f(x)作为被积函数，式（7-6）却可以用于估计积分的误差。6)-(7d)()!1()(d])()([0)1(bankknbannnxxxnfxxLxfIIR插值型求积公式代数精度定理关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。具有n+1个节点的数值求积公式（7-1）是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。是插值型的。所以，求积公式故：所以：满足：由于)17(),,1,0(d)()()(0)(1)()()(d)(00niAxxlAxlAikikxlxlxlAxxlibainkikikkiibankkiki定理2证：(充分性)设求积公式（7-1）至少具有n次代数精度，那么，由于插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)均是次数为n的多项式，故式（7-1）对li(x)精确成立，即:定理2（续）(必要性)设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于n的多项式f(x)，按（7-6）其求积余项Rn=0，即公式是精确成立的。由定义1知求积公式至少具有n次代数精度。（证毕）定理2说明，当求积公式（7-1）选定求积节点xk后，确定求积系数Ak有两条可供选择的途径：求解线性方程组（7-2）或者计算积分（7-5）。由此得到的求积公式都是插值型的，其代数精度均不小于n次。插值型求积公式举例例3考察求积公式：))1()0(2)1((21)(11fffdxxf具有几次代数精度。次代数精度。所以此求积公式具有一右边左边时当右边左边时当右边公式左边时检查当解：1)1021(2132d,)(0)1021(210d,)(2)121(212d,1)(11221111xxxxfxxxxfxxf此例说明三个节点的求积公式不一定具有二次数精度，其原因是此求积公式不是插值型的。§2牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式本节介绍求积节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式。2.1牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式设将积分区间[a,b]划分为n等分，步长h=(b-a)/n，求积节点取为xk=a+kh(k=0,1,…,n)，由此构造插值型求积公式，则其求积系数为:nnknkbabankjjjkjkknktjtknknabtjkjthAthaxnkxxxxxxxlA00nkj0jnkj0j0),,1,0(d)()!(!)1(d:),,1,0(dd)(则有引入变换牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续）称之为n阶牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式简记