数理方程课件51

第五章Legendre多项式李莉[e-mail]§5.1Legendre方程与Legendre多项式的引出例：在本来匀强的静电场中，放置一个导体球，球的半径为a，试研究导体球怎样改变了匀强电磁场。解：这个问题是三维静电场问题，球外电势满足Laplace方程，在距球无穷远处，电场保持为原来的。0E0E以球心为原点取球坐标系，则定解问题是：20005.1.1cos5.1.205.1.3rraurauEzEru0xyz0E2000,5.1.1cos,5.1.20.5.1.3rraurauEzEru在球坐标系中，Laplace方程的表达式是：2222222111sin0sinsinuuurrrrrr用分离变量法求解，设：(,,)()()()urRr代入到方程中，得：2222222sin0sinsinddRRddRdrrdrdrrddrd(5.1.4)2222222sin0sinsinddRRddRdrrdrdrrddrd将关于的变量和关于的变量分离：,r用遍乘上式，并适当移项，可得：22sinrR222sinsinsinddRddrmRdrdrdd由此可得两个微分方程：20m（5.1.5）和22211sin0sinsinddRddmrRdrdrdd20m22211sin0sinsinddRddmrRdrdrdd（5.1.5）对上面第二个方程，再将变量分离开来：,r22211sin(1)sinsinddmddRrllddRdrdr由此再得两个常微分方程：2(1)0ddRrllRdrdr(5.1.6a)即2()2()(1)()0rRrrRrllRr(5.1.6b)以及221sin(1)0sinsinddmlldd(5.1.7a)221sin(1)0sinsinddmlldd(5.1.7a)对方程（5.1.7a）作变换可得：cosx22222sincossinddddddddxdxdxsindddxdddxddxsinddddx22222cossindddddxdx代入5.1.7a，得：222sin(1)01ddmlldxdxx即：222(1)(1)01ddmxlldxdxx(5.1.7b)即222(1)()2()(1)()01mxxxxllxx(5.1.7c)至此球坐标系下的Laplace方程分离变量的结果是得到三个常微分方程：20m（5.1.5）2()2()(1)()0rRrrRrllRr(5.1.6b)222(1)()2()(1)()01mxxxxllxx(5.1.7c)222sin(1)01ddmlldxdxx20m（5.1.5）2()2()(1)()0rRrrRrllRr(5.1.6b)222(1)()2()(1)()01mxxxxllxx(5.1.7c)方程(5.1.5)加上周期性条件(0)(2)(5.1.8)构成本征值问题，解之得到：()cossin,0,1,2,.mmAmBmm方程（5.1.6）是Euler方程，令，解之得：1llllRrArBr（5.1.10）（5.1.9）方程（5.1.7）叫做关联Legendre方程。在m=0时，退化为Legendre方程：2(1)()2()(1)()0,xxxxllx（5.1.11）trem=0物理含义：轴对称问题，即场量u与角度无关，只是和的函数。r重新考虑定解问题2000,5.1.1cos,5.1.20.5.1.3rrurauEzEru非齐次边界条件（5.1.2）是引起场量u发生变化的唯一根源，这个非齐次函数不是角变量的函数，所以问题具有轴对称性。2(1)()2()(1)()0,xxxxllx（5.1.11）在第三章中，我们已经求出了Legendre方程(5.1.11)的通解，并且指出，Legendre方程(5.1.11)加上自然条件1,（5.1.12）构成本征值问题，其本征值和本征函数依次是：0,1,2,;.nlnnxPx综上，定解问题(5.1.1)----(5.1.3)在具有轴对称性质的假设下，具有本征解：1,cos0,1,2,nnnnnnurArBrPn（5.1.14）将这些解叠加起来，得到级数解为：10,cos.nnnnnnurArBrP（5.1.15）下一步：利用Legendre多项式的性质，确定未知常数。当时，方程为关联Legendre方程：0m222(1)()2()(1)()01mxxxxllxx(5.1.7c)令2/2()(1)()mxxYx(5.1.16)则函数Y满足：2(1)2(1)'(1)(1)0xYmxYllmmY(5.1.17)1'2/2'22()(1)()(1)mmxxYxmxxY1''2/2''2'21222222()(1)()2(1)(1)(2)(1)mmmmxxYxmxxYmxYmmxxY另一方面，利用微商的莱布尼兹法则：()()(1)'(2)''()()()(1)()...1!2!(1)(2)...(1)...!mmmmmkkmmmmuvuvuvuvmmmmkuvuvk将勒让德方程2'''(1)()2()(1)()0xxxxllxPPP对x求m次微商，可得：2()''()'()(1)2(1)(1)(1)0mmmxmxllmmPPP其中()mmmddxPP（II）2()''()'()()'()()(1)(1)2222(1)0mmmmmmmmxmxxmllPPPPPP即：满足自然条件（5.1.12）的Legendre方程的解是legendre多项式，()nPx满足同样边界条件的关联Legendre方程的本征函数称为关联Legendre多项式，记作()mnPx所以22()()(1)(0,1,2,,)mmmnnmdPxPxxmndx一般解：本征解：(1)(,,)[][cossin](cos)nnmnmmmnurArBrCmDmP00(,,)(,,)nnmnmurur比较（5.1.17）和（5.1.17’），可知：()()()mYxxP2'''(1)2(1)(1)(1)0xYmxYllmmY（5.1.17）2()''()'()(1)2(1)(1)(1)0mmmxmxllmmPPP（5.1.17‘）代回2/2()(1)()mxxYx可得：2/2()()(1)()mmxxxP§5.2Legendre多项式的性质1.Legendre多项式的微分表示Legendre多项式：/220(22)!()(1)2!()!(2)!lklkllklkPxxklklkl为偶数(1)/220(22)!()(1)2!()!(2)!lklkllklkPxxklklkl为奇数现在我们来证明，Legendre多项式还可表示成如下的微分形式：21()(1)2!llllldPxxldx（5.2.1）21()(1)2!llllldPxxldx证明：将式（5.2.1）中的按二项式定理展开，可得：2(1)lx/2220/2201(1)(22)(21)(1)2!2!()!(22)!(1)2!()!(2)!lklllklllklklklkdlklkxxldxklklkxklklkRodrigues公式由此得证。（5.2.1）22011!(1)()(1)2!2!!()!lllllkkllllkddlxxldxldxklk将其中的l次微商实施。凡是x的幂次2l-2k低于l的项在微商过程中都成为零，留下的项必满足：，即22lkl/2kl故利用Rodrigues公式，可方便地给出低阶的几个Legendre多项式的显式：21()(1)2!llllldPxxldx012223334245351cos313cos1()22535cos3cos()221()(35303)81(35cos420cos29)641()(637015)81(63cos535cos330cos)128PPxxPxxxPxPxxxPxxxx（5.2.2）0P1P2P3P4P5P(1)1;lP()lPx的奇偶性由l的奇偶性来决定。222121()();()();nnnnPxPxPxPx（5.2.3）由图可见，0P1P2P3P4P5P2.Legendre多项式的积分表示1）.施列夫利（Schlufli）积分根据复变函数的Cauchy积分公式()1!()()2()nnLnfzdzfxizx的微分表示又可变为积分表示：()lPx22111(1)()(1)2!22()llllllllCdzPxxdzldxizx其中C是在z平面上围绕z=x点的任一闭合回路。2）.Laplace积分将积分回路C选成：以z=x为圆心，以为半径的圆周（5.2.5）1221x在积分回路上：21/221/221/2(1)(02),(1)(1)iiizxxezxxedzixed即1x将以上各式代入式22111(1)()(1)2!22()llllllllCdzPxxdzldxizx经过整理简化，可得：21/201()[(1)cos]llPxxixd（5.2.6）按，从x变回，可得：cosx01(cos)[cossincos]llPid（5.2.7）——Legendre多项式的Laplace积分利用该式，可得Legendre多项式的一些特殊值。比如：(1)1(1)(1)lllPP，21/221/221/2(1)(02),(1)(1)iiizxxezxxedzixed即3.Legendre多项式的母函数如果一个函数按其某个自变量的幂级数展开时，其系数是Legendre多项式，则称该函数为Legendre多项式的母函数，或称生成函数。0(,)()nnnfxtPtx即如果有则称为Legendre多项式的母函数。(,)fxt例：考察电量为，位于半径为1的单位球北极N处的点电荷在球内一点处所产生的电势是04(,,)