概率论第四章42方差

四、几种常用离散型分布的期望(1)（0—1）分布()0(1)1EXppp(2)二项分布.)(npXE(3)泊松分布}{kXP)(~Xekk!,2,1,0k)(XE五、几种常用连续型分布的期望(1)均匀分布其它,0,1)(bxaabxfdxxxfXE)()(.2ba(2)指数分布000xexfxx(3)正态分布.)(XE例如:甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果中心中心其落点距目标的位置如图，又如:甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60哪个合唱队演出效果好？用什么衡量X与E(X)的偏离程度呢?1、[()]EXEX合理,但是存在正负相消，不可行;2、带绝对值的运算，不利于分析;3、在实际问题中常常关心随机变量与均值的偏离程度，[|()|]EXEX2{[()]}EXEX方差第四章第二节二、方差的性质一、方差的定义三、几种重要分布的方差方差的算术平方根为X的方差。记为D(X)或Var(X)。定义设X是一个随机变量，若则称2{[()]}EXEX称为均方差或标准差。2{[()]}EXEX存在，记为注：方差实际上就是X的函数g(X)=[X-E(X)]2的期望。方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。一、方差的定义221()[()][()]iiiDXEXEXxEXp2()[()]()DXxEXfxdx离散型连续型证明：推论：常用计算公式：解比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为例1X8910P0.30.20.5甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：试问那个人的射击水平较高？X：甲击中的环数Y：乙击中的环数Y8910P0.20.40.4()...EX8039021005＝9.2(环)乙的平均环数为()...EY8029041004＝9.2(环)从平均环数上看，甲、乙射击水平是一样的。但两人射击环数的方差分别为：这表明乙的射击水平比甲稳定。()......DX2228920399202109205.076()......DY2228920299204109204.0624()()DYDX由于，0)1()1()(1001dxxxdxxxXE61)1()1()(1020122dxxxdxxxXE61)(XD设随机变量X的概率密度为1,10,()1,01,0,.xxfxxxothers求D(X)。例2解：例3设X的可能取值为1231,0,1,xxx且()0.1,()0.89EXDX，求X的分布律。解设X的分布律为2213()()()0.90.9EXDXEXpp13()0.10.1EXpp1230.4,0.1,0.5ppp1231ppp所以1．（0-1）分布参数为pXpp1p01三、几种常见分布的方差22()()[()]DXEXEX2pp)1(pp()EXp()EXp()(1)DXpp)(~X{}!kePXkk),2,1,0(k2．泊松分布()EX()DX122!)(kkkekXE112)!1()!2(kkkkkeke()DX1)!1()11(kkkekeeee22),(~baUX3．均匀分布1,,()0,.axbfxbaothers)(2XE322babadxxfx)(22baxdxba22()()()DXEXEX222()34aabbab2()12ba2(),()12baDX2)(baXE4指数分布,0,()0,0.xexfxx1()EX21,()DX练习1.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X);3.若X与Y独立，则二、方差的性质()()DXYDXDY证2(){[()]}DCXECXECX222{[()]}()CEXEXCDX证2)]([)(YXEYXEYXD2[(())(())]EXEXYEY[(())(())2(())(())]22EXEXYEYXEXYEY)])([(2)()(22EYYEXXEEYYEEXXE注：这条性质同样不是一个充要条件。11[](),nniiiiDXDX推广若X1,X2,…,Xn相互独立,则niiiniiiXDCXCD121)(][)])([(2)()(22EYYEXXEEYYEEXXE][2)()(EYEXEYXYEXXYEYDXD])([2)()(EYEXEYEXEYEXXYEYDXD])([2)()(EYEXXYEYDXD若X,Y相互独立，这项为零4、D(X)=0则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.若设故是n次试验中“成功”的次数1niiXX设则1,2,3,,.in()(1)iiEXPXp2()iEXp22()()[()]iiIDXEXEX2(1)pppp于是由于X1,X2,…,Xn相互独立niiXDXD1)()((1)npp1,2,3,,.in例5二项分布的期望值和方差例6.正态分布的方差EX=0xexx222121412xfxex求.,DXEX解22122122xfxe121EX22.DX例7:已知解Z为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为2()()4()5DZDXDY故例8设X,Y是两个相互独立的且服从正态分布的~(3,1),~(2,1)XNYN随机变量,且，则求随机变量服从什么分布？)(ZE7)(2)(YEXEZ~N(-7,5)作业：P1062,3(5,7)P1197,25