第17讲函数的单调性3

函数的单调性德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据时间间隔记忆保持量刚刚记忆完毕100%20分钟之后58.2%1小时之后44.2%8-9小时之后35.8%1天后33.7%2天后27.8%6天后25.4%一个月后21.1%……保持量（百分数）天数1234560204060801001、艾宾浩斯遗忘曲线24681012141618202224108642-20θ/ºCt/h2、某市一天24小时的气温变化图y＝f(x)，x∈[0，24]说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?问题1、作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:OxyyOxOxy-1yOx问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势当x的值增大时，函数值y也增大图象在该区间呈下降趋势当x的值增大时，函数值y反而减小函数的这种性质称为函数的单调性。问题3、如何用数学语言表述一个函数是增函数呢？0XX不断增大，f(x)也不断增大0XYX1X2f(X1)f(X2)问题3、如何用数学语言表述一个函数是增函数呢？xyOy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）问题４：如何定义一个函数是单调减函数？yf(x1)f(x2)x10x2x那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）如果函数y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.单调区间24681012141618202224108642-20θ/ºCt/hy＝f(x)，x∈[0，24]例1、根据图象说出函数的单调区间[0，4][4，14][14，24]例2、画出下列函数图象，并写出单调区间：yxO2121-1-2练习：填表函数单调区间k0k0k0k0增函数减函数减函数增函数单调性例３、求证：函数在区间上是单调增函数．（1）怎样证明？（2）函数单调区间单调性增函数增函数练习2：填表（二）减函数减函数2、函数单调性的定义；4、证明函数单调性的步骤.回顾小结本节课主要学习了以下内容：3、判断单调性的方法：图象、定义;1、单调函数的图象特征；布置作业必做：P43习题2.1（3）1、4、7（2）研究的单调性，并给出证明，试求出该函数的值域。选做（1）判断函数在区间上的单调性。证明：设是（0，+∞）上的任意两个实数，且．1、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质.2、判断函数单调性的方法：（1）利用图象：在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的.（2）利用定义：用定义证明函数单调性的一般步骤：任意取值→作差变形→判断符号→得出结论.七、小结回顾练习1：证明函数在区间上是减函数．证明：（设量）（比较）（结论）（定号）1、函数的单调性的定义2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：（1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手（5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域3、函数单调性的证明：定义法；导数法4、一般规律（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；（2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（4）设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。xgfyxgfyxgfy例1、求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性。xxy23116331223xxxy练习(变式一)求下列函数的单调区间:3212xxy例2如果二次函数在上是增函数，求的取值范围。5)1(2xaxxf1,21)2(f例4、是否存在实数a，使函数xaxaxf2log在区间4,2上是增函数？如果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，请说明理由。练习：（变式一）函数xaxxf89log在,1上是增函数，求a的取值范围。(书）例5：定义在R上的函数0)0(),(fxfy，当1)(xf时且对任意的a，b有R（1）求证：10f（4）1)2(.2xxfxf解不等式。0x)().()(bfafbaf（2）求证：0）（，恒有对任意的xfRx（3）求证：上的增函数是Rxf练习：（变式四）设f(x)的定义域为,0，且在,0上为增函数，yfxfyxf（1）求证：yfxfxyff,01（2）设12f解不等式。231xfxf三、小结1．判断函数单调性（求单调区间）的方法2、函数单调性的证明：定义法；导数法。3、综合应用，特别与不等式联系。