第5章参数估计

作者贾俊平统计学(第三版)20085-2统计学STATISTICS(第三版)2008年8月不象其他科学，统计从来不打算使自己完美无缺，统计意味着你永远不需要确定无疑。——GudmundR.Iversen统计名言第5章参数估计5.1参数估计的基本原理5.2一个总体参数的区间估计5.3两个总体参数的区间估计5.4样本量的确定5-4统计学STATISTICS(第三版)2008年8月学习目标参数估计的基本原理点估计与区间估计评价估计量优良性的标准一个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法样本量的确定方法5-5统计学STATISTICS(第三版)2008年8月参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计5-6统计学STATISTICS(第三版)2008年8月大学生每周上网花多少时间？为了解学生每周上网花费的时间，中国人民大学公共管理学院的4名本科生对全校部分本科生做了问卷调查。调查的对象为中国人民大学在校本科生，调查内容包括上网时间、途径、支出、目的、关心的校园网内容，以及学生对收费的态度，包括收费方式、价格等问卷调查由调查员直接到宿舍发放并当场回收。对四个年级中每年级各发60份问卷，其中男、女生各30份。共收回有效问卷共200份。其中有关上网时间方面的数据经整理如下表所示5-7统计学STATISTICS(第三版)2008年8月大学生每周上网花多少时间？回答类别人数（人）频率（%）3小时以下32163～6小时3517.56～9小时3316.59～12小时2914.512小时以上7135.5合计200100平均上网时间为8.58小时，标准差为0.69小时。全校学生每周的平均上网时间是多少？每周上网时间在12小时以上的学生比例是多少？你做出估计的理论依据是什么？5.1参数估计的基本原理5.1.1点估计与区间估计5.1.2评价估计量的标准第5章参数估计5.1.1点估计与区间估计5.1参数估计的一般问题5-10统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.参数估计(parameterestimation)就是用样本统计量去估计总体的参数2.估计量：用于估计总体参数的统计量的名称如样本均值，样本比例，样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量3.参数用表示，估计量用表示4.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值估计量与估计值(estimator&estimatedvalue)ˆ5-11统计学STATISTICS(第三版)2008年8月点估计(pointestimate)1.用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.无法给出估计值接近总体参数程度的信息由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量5-12统计学STATISTICS(第三版)2008年8月区间估计(intervalestimate)1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个估计区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限5-13统计学STATISTICS(第三版)2008年8月区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65xxxzx25-14统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例，也称置信度2.表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平(confidencelevel)5-15统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间3.如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间。同样，其他置信水平的区间也可以用类似的方式进行表述置信区间的表述(confidenceinterval)5-16统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.总体参数的真值是固定的，而用样本构造的区间则是不固定的，因此置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化，而且不是所有的区间都包含总体参数2.实际估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平(比如95%)下的置信区间。我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间的表述(confidenceinterval)5-17统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.当抽取了一个具体的样本，用该样本所构造的区间是一个特定的常数区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值，因为它可能是包含总体均值的区间中的一个，也可能是未包含总体均值的那一个2.一个特定的区间总是“包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题3.置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取的这个样本所构建的区间而言的置信区间的表述(confidenceinterval)5-18统计学STATISTICS(第三版)2008年8月置信区间的表述(95%的置信区间)从均值为185的总体中抽出n=10的20个样本构造出的20个置信区间我没有抓住参数！点估计值5-19统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区间，而使用一个较大的样本则会得到一个较准确(较窄)的区间。直观地说，较宽的区间会有更大的可能性包含参数2.但实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很有把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过窄)的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上去很准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量，而现实中样本量总是有限的3.区间估计总是要给结论留点儿余地置信区间的表述(confidenceinterval)5.1.2评价估计量的标准5.1参数估计的一般问题5-21统计学STATISTICS(第三版)2008年8月无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P()BA无偏有偏ˆˆ5-22统计学STATISTICS(第三版)2008年8月有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布1ˆ2ˆP()ˆˆ5-23统计学STATISTICS(第三版)2008年8月一致性(consistency)一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本量较大的样本量P()ˆˆ5.2一个总体参数的区间估计5.2.1总体均值的区间估计5.2.2总体比例的区间估计5.2.3总体方差的区间估计第5章参数估计5.2.1总体均值的区间估计5.2一个总体参数估计的区间估计5-26统计学STATISTICS(第三版)2008年8月一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差2xp2s5-27统计学STATISTICS(第三版)2008年8月总体均值区间的一般表达式1.总体均值的置信区间是由样本均值加减估计误差得到的2.估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计时所要的求置信水平为时，统计量分布两侧面积为的分位数值，它取决于事先所要求的可靠程度3.总体均值在置信水平下的置信区间可一般性地表达为样本均值±分位数值×样本均值的标准误差5-28统计学STATISTICS(第三版)2008年8月总体均值的区间估计(大样本的估计)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.使用正态分布统计量z3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1,0(~Nnxz)(22未知或nszxnzx5-29统计学STATISTICS(第三版)2008年8月总体均值的区间估计(大样本的估计)【例】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845325-30统计学STATISTICS(第三版)2008年8月总体均值的区间估计(大样本的估计)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为63.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁5.39x77.7s5-31统计学STATISTICS(第三版)2008年8月总体均值的区间估计(小样本的估计)1.假定条件总体服从正态分布,但方差(２)未知小样本(n30)2.使用t分布统计量3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1(~ntnsxtnstx25-32统计学STATISTICS(第三版)2008年8月总体均值的区间估计(小样本的估计)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.35-33统计学STATISTICS(第三版)2008年8月总体均值的区间估计(小样本的估计)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g36.105x5-34统计学STATISTICS(第三版)2008年8月总体均值的区间估计(小样本的估计)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014705-35统计学STATISTICS(第三版)2008年8月总体均值的区间估计(小样本的估计)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95