第一章集合与常用逻辑用语

北师大版数学第一章集合与常用逻辑用语第一节集合第二节命题及其关系、充分条件与必要条件第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词专家讲坛目录人教A版数学第一章集合与常用逻辑用语北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养[备考方向要明了]1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．考什么北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(或enn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.考什么北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力．如2012年全国T1，江西T1等．2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断．如2011年北京T1.怎么考北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养怎么考(2)以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题．3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或或enn图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力．如2012北京T1、陕西T2、山东T1等．北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养[归纳·知识整合]1．元素与集合(1)集合元素的特性：、、无序性．确定性互异性(2)集合与元素的关系①属于记为②不属于记为∈∉(3)集合的表示方法：、、图示法．列举法描述法北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号_____________________NN＋ZQR北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养[探究]1.集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y＝x2}相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这4个集合互不相同，A是以方程x2＝0的解为元素的集合，即A＝{0}；B是函数y＝x2的定义域，即B＝R；C是函数y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是抛物线y＝x2上的点组成的集合．北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言或enn图子集集合A中所有元素都在集合B中____________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集____________________A⊆B或B⊇AAB或BAA⊆B且B⊆A⇔A＝B北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养[探究]2.对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系？提示：A＝B.假设A≠B，则A∩BA∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示_______________若全集为U，则集合A的补集为_____图形表示意义{x|______}{x|______________}∁UA＝_______________A∪BA∩B∁UAx∈A，或x∈Bx∈A，且x∈B{x|x∈U，且x∉A}北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养[探究]3.同一个集合在不同全集中的补集相同吗？提示：一般情况下不相同，如A＝{0,1}在全集B＝{0,1,2}中的补集为∁BA＝{2}，在全集D＝{0,1,3}中的补集为∁DA＝{3}．北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养4．空集(1)空集是集合的子集，∅⊆A；(2)空集是任何集合的真子集，∅A；(3)空集只有一个子集，即它自身；(4)A∩∅＝，A∪∅＝.[探究]4.0与集合{0}是什么关系？∅与集合{∅}呢？提示：0∈{0}，∅∈{∅}或∅⊆{∅}．任何非空∅A北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养[自测·牛刀小试]1．(2012·山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为()答案：C解析：由题意知∁UA＝{0,4}，又B＝{2,4}，所以(∁UA)∪B＝{0,2,4}．A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养2．(教材改编题)已知集合A＝{x|2x－33x}，B＝{x|x≥2}，则()A．A⊆BB．B⊆AC．A⊆∁RBD．B⊇∁RA解析：∵A＝{x|2x－33x}＝{x|x－3}，B＝{x|x≥2}，∴B⊆A.答案：B北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养3．(2013·九江模拟)设集合A＝{6，a2－5a＋1}，B＝{1，a＋1},7∈A且7∉B，则a的值为()A．－1B．6C．－1或6D．不确定解析：∵7∈A，∴a2－5a＋1＝7，解得a＝－1，或a＝6.又7∉B，∴a＋1≠7，即a≠6.∴a＝－1.答案：A北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养4．(教材改编题)已知集合A＝{1,2}，若A∪B＝{1,2}，则集合B有________个．解析：∵A＝{1,2}，A∪B＝{1,2}，∴B⊆A，∴B＝∅，{1}，{2}，{1,2}．答案：4北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．解析：∵B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≥4，或x≤1}，且A∩B＝∅，∴a－11，a＋14，∴a2，a3.即2a3.答案：(2,3)北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养集合的基本概念[例1](1)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10(2)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若9∈(A∩B)，则实数a的值为________．北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养[自主解答](1)由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得xy，当y＝1时，x可取2,3,4,5，有4个；y＝2时，x可取3,4,5，有3个；y＝3时，x可取4,5，有2个；y＝4时，x可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养(2)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9.∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4，9}，符合题意；当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B不满足集合中元素的互异性，故a≠3；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合题意．∴a＝5或a＝－3.[答案](1)D(2)5或－3北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养本例(2)中，将“9∈(A∩B)”改为“A∩B＝{9}”，其他条件不变，则实数a为何值？解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9，即a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，∴A∩B＝{－4,9}，不满足题意，∴a≠5.北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，不满足集合中元素的互异性，∴a≠3.当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，∴A∩B＝{9}，符合题意，∴a＝－3.北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养——————————————————————————————————————————解决集合问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养1．(1)已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，则实数a的取值范围是________．(2)已知集合A＝{x|x2－2x＋a0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．解析：(1)∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}为非空集合，∴a－1≥0，即a≥1.(2)∵1∉{x|x2－2x＋a0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案：(1)[1，＋∞)(2)(－∞，1]北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养集合间的基本关系[例2](1)(2013·太原模拟)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP(2)(2013·西安模拟)已知集合A＝{x|x－1或x4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________．北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养[自主解答](1)∵P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}．Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y0}．∴∁RP＝{y|y1}，∴∁RP⊆Q.(2)北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养当B＝∅时，只需2aa＋3，即a3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a＋3≥2a，a＋3－1，或a＋3≥2a，2a4，解得a－4或2a≤3.综上可得，实数a的取值范围为a－4或a2.[答案](1)C(2)a－4或a2北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养—————————————————根据两集合的关系求参数的方法已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、或enn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养解析：(1)若A＝∅，则Δ＝a2－40，解得－2a2；(2)若1∈A，则12＋a＋1＝0，解得a＝－2，此时A＝{1}，符合题意；(3)若2∈A，则22＋2a＋1＝0，解得a＝－52，此时A＝2，12，不合题意．综上所述，实数a的取值范围为[－2,2)．2．若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．答案：[－2,2)北师大版数学第一节集合回扣主干知识突破热点题型演练知