约化密度矩阵

五、约化密度矩阵设系统由1、2两部分组成⊗nmηξ||系统的纯态可写为∑⊗=mnnmmncηξψ|||1||2=∑mnmnc系统的密度矩阵∑==kiiiip1||ˆψψρ11=∑=kiip当然也是整个系统的力学量)1(ˆF设是只与子系统1有关的力学量)1(ˆF整个系统的一组基矢可取为{}{}=nmmnηξϕ|||子系统2的一组基矢{}nη|子系统1的一组基矢{}mξ|∑==kiiiip1||ˆψψρ∑===kiniiimmmnmp1,||||||ˆ||βαβαβαηξψψηξηξρηξρ对基矢组{}{}=nmmnηξϕ|||||||||||ˆ,1ββαβααηξηξψψηξηξρ=∑∑=nnmkiniiimmp||||,1,ββαβααηξρηξ=∑∑=nnmkinmm())1()1(ˆˆtrFFρ=∑′′′′′′=αααηξρηξmmmF||ˆˆ||)1(∑∑′′′′′′=ααααααηξρηξηξηξmmmmmmF||ˆ||||ˆ||)1(∑∑′′′=mmmmmmFαααξηρηξξξ||ˆ|||ˆ|)1(∑∑′′′=mmmmmmFFαααξηρηξξξ||ˆ|||ˆ|)1()1(∑=αααηρηρ|ˆ|ˆ)1(定义：)ˆ(tr)2(ρ=对子系统2的基矢取迹子系统1空间的算符，子系统1的约化密度算符。∑′′′=mmmmmmFFξρξξξ|ˆ||ˆ|)1()1()1(∑=mmmFξρξ|ˆˆ|)1()1(())1()1((1)ˆˆtrρF=子系统1中的关系。对纯态||||||||ˆ,ββαβααηξηξψψηξηξρ=∑nnmnmm=′′′∑∑αβαβαβαααηηξηξψψηξηξηρ||||||||ˆ,)1(nnmnmm||||||,nnmnmmξηξψψηξξααα=∑||,*nnmnmmccξξααα=∑∑形式与混合态密度矩相同例：考虑混合态的密度矩阵:解：密度矩阵====21,01|21,1121|2211PPχχ∑=iiiip||ˆχχρ()()0121011121211121ˆ⋅⋅+⋅⋅=ρ=111341本征值方程=⋅nnnnnbabaρ111341=⋅nnnϕρϕρ||ˆ+−−=2112241|1ϕ4221+=ρ−−+=2112241|2ϕ4222−=ρ∑=nnnn||ˆϕρϕρ=111341解：=101221|ψ||ˆψψρ=()1012101241⋅==101200001012202241例：有一个由一个电子和一个质子构成的双粒子系统。在两粒子的自旋空间，其非耦合表象的基矢可由两粒子自旋基矢的直积构成，即：++=+⊗+=||||211ψ+−=−⊗+=||||212ψ−+=+⊗−=||||213ψ−−=−⊗−=||||214ψ系统处于态，讨论电子的自旋。()++=421|||221|ψψψψ=+01|=−10|=101200001012202241ˆρ1)ˆ(tr=ρ1)ˆ(tr2=ρ1ˆS)2()1(11ˆˆISS⊗=⊗=100101102ˆ1xS=00100001100001002−−=00i0000ii0000i002ˆ1yS−−=10000100001000012ˆ1zS=xS1ˆ)ˆˆ(tr1xSρ4=0ˆ1=yS4ˆ1=zS用约化密度矩阵求解：∑±===iii22)2()1(|ˆ|)ˆ(trˆχρχρρ2222|ˆ||ˆ|+=−−++χρχχρχ=111341=101200001012202241ˆρ1)ˆ(tr)1(=ρ=2)1()ˆ(ρ122581()143)ˆ(tr2)1(=ρ)ˆˆ(trˆ)1(1)1(1xxSSρ=4=⋅=01102111341tr0ˆ1=yS4ˆ1=zS第3章对称性与守恒定律§1对称变换HermannWeyl：如果一个操作能使某体系从一个状态变换到另一个与之等价的状态，即体系的状态在此操作下保持不变，则该体系对这一操作对称，此操作称为体系的一个对称操作。对称性—不可观测性、不可区分性量子力学中的对称性：哈密顿量在某种变换下具有不变性；力学量的可能值及取值概率在变换下保持不变；力学量的平均值在变换下保持不变。),(ˆ),(trDtrψψ=′变换′→ψψ||坐标表象下=ψψ|),(rtr′=′ψψ|),(rtrDˆ=′ψψ|ˆ|D一、对称变换应满足的条件：（1）为幺正算符，变换是幺正变换1||==′′ψψψψ1||ˆˆ|†==ψψψψDD1ˆˆˆˆ††==DDDD反（线性）幺正算符若：（线性）幺正算符+=+2121|ˆ|ˆ)||(ˆψψψψDbDabaD若：Wigner定理：保持态矢量内积的模不变的可逆变换只能是幺正变换或者反幺正变换。+=+2*1*21|ˆ|ˆ)||(ˆψψψψDbDabaDDˆDˆ（2）若不显含时间因子t，则Dˆ[]0ˆ,ˆ=DH′′=′∂∂ψψ|ˆ|iHt变换后HHˆˆ=′而=∂∂ψψ|ˆˆ|ˆiDHDt=′ψψ|ˆ|D=∂∂ψψ|ˆˆ|iˆDHtD=ψψ|ˆˆ|ˆˆDHHD[]0ˆ,ˆ=DH对称变换†ˆˆˆˆDADA=′对称变换，平均值不变=ψψ|ˆ|AA′′′=ψψ|ˆ|A=ψψ|ˆˆˆˆˆ|††DDADD†ˆˆˆˆ|ˆ|DADAD=′=′ψψ′′=ψψ|ˆˆˆ|†DAD用ξ表示一个连续变化的参量),(ˆˆξHH=连续变换下的不变性)(ˆ)d(ˆξξξHH=+0ˆ=∂∂ξH对任意态ψ|∂∂+∂∂=∂∂ψξψξψξ|ˆ|ˆ|ˆHHH定义ξ∂∂−=iˆF则0]ˆ,ˆ[=FH即F为守恒量。二、Nöther定理连续变换厄米算符0|ˆ|ˆ=∂∂−∂∂ψξψξHH有限连续变换可分解为一系列无穷小变换1)ˆ1)(ˆ1(†=+−FiFiεε0]ˆ,ˆ[=FH另一途径：1,ˆi1ˆ+=εεFD†ˆˆFF=1ˆˆ†=DD1)(ˆˆ12†=++−εεεOFiFinnnFiFneDˆ)i(1ˆ0ˆεε∑∞===！为守恒量FˆFˆ：的生成元Dˆ厄米算符对称变换[]0ˆ,ˆ=DH一般Nöther定理：如果运动规律在某一个不明显依赖于时间的(连续)变换下具有不变性，则必存在一个对应的力学量守恒。分立变换并不一定对应一个守恒量。连续变换：连续变换不变性所决定的守恒量是相加性守恒量，也就是守恒性质表现为系统中各部分的该守恒量的代数和在运动过程中不变。分立变换：分立变换不变性所决定的守恒量是相乘性守恒量，也就是守恒性质表现为系统中各部分的该守恒量的乘积在运动过程中不变。三、空间对称变换（1）空间位置(坐标)变换),,(),,(321xxxzyxr==正交变换Q=′′′321321xxxQxxx{}Q对称变换群经典变换，c数变换rQr=′rQr′=−1QQ~1=−如：绕z轴转α=′+=′−=′zzyxyyxxααααcossinsincos−=1000cossin0sincosααααQ（2）希尔伯特空间的变换=ψψ|)(rr′=′ψψ|)(rr=′ψψ|ˆ|D)(ˆˆQDD=若变换由正交变换Q引起Dˆ=′ψψ|)(ˆ|QD对称变换新函数在新坐标点处的函数值等于老函数在老坐标点处的值。整体变换。′′=′′ψψ|)(rr)()(rQrψψ′=′′)()(rrψψ=′′)()(1rQr−=′ψψ=′ψψ|)(ˆ||QDrr)()(ˆ)(rQDrψψ=′)(rψ=)()()(ˆ1rQrQD−=ψψ连续两次变换)()(ˆ)(ˆ21rQDQDψ)()(ˆ121rQQD−=ψ())(1112rQQ−−=ψ()rQQ1112−−=ψ()rQQ121)(−=ψ)()(ˆ21rQQDψ=故)(ˆ)(ˆ)(ˆ2121QQDQDQD=)(ˆQD形成与{Q}同构的群{})(ˆQD)(ˆ)(ˆ)(ˆ2121QQDQDQD=)(ˆ)(ˆ)(ˆ11−−=QQDQDQD1)(ˆ==ID)(ˆQD是具体形成由Q决定的幺正变换。′=′ψψ|)(rr=ψ|ˆ|Dr)()(ˆ)(rQDrψψ=′)(1rQ−=ψ=−ψ|1rQ|)(ˆ|1rQQDr−=|)(ˆ|1rQQDr=−到右矢空间=−rQrQD1†||)(ˆ′==rrQrQD|||)(ˆ力学量算符的变换†ˆˆˆˆDADA=′†ˆˆˆˆDrDr=′=′rDrDrr|ˆˆˆ|ˆ†=−rQrD1|ˆˆ⋅=−−rQrQD11|ˆc数⋅=−−rQQDrQ11|)(ˆ=−−rQQrQ11|=−rrQ|1=′−rrQrr||ˆ1=−rQr1|ˆ−−rQrQ11|=rrrr||ˆ=−−rrQrrQ||ˆ11rQrˆˆ1−=′rQr=′c数变换q数变换位形空间坐标点的变换希尔伯特空间坐标算符的变换§2空间平移与反演变换一、空间平移不变性与动量守恒arr+→′)()()(ˆ)(1rQraDr−==′ψψψarrQr+==′arrQ−=−1)(ar−=ψ+∇⋅+=)()(rarψψ+∇⋅−=)()i(i)(rarψψ)(ˆirepaψ⋅−=paeaDˆi)(ˆ⋅−=若系统具有空间平移不变性[]0ˆ,ˆ=DH0,ˆˆi=⋅−paeH[]0ˆ,ˆ=pH动量守恒系统具有空间平移不变性系统动量守恒空间绝对位置不可观测例：paeaDˆi)(ˆ⋅−=?ˆˆˆˆ†==′DrDrpaeaDˆi)(ˆ⋅−=∑=⋅−=0ˆ)i(!1nnnpan[]nnpprpˆˆiˆ,ˆ∂∂−=1ˆi−⋅−=npn[]−=∑=rpanraDnnnˆ,ˆ)i(!1ˆ,)(ˆ0)ˆi()i(!101∑=−−−=nnnpnan)(ˆ)i()!1(1011apannnn−⋅−−=∑=−−)(ˆaDa⋅−=[])(ˆˆ,)(ˆaDaraD⋅−=)(ˆ)(ˆˆˆ)(ˆaDaaDrraD⋅−=⋅−⋅)(ˆ)ˆ(ˆ)(ˆaDarraD⋅−=⋅)(ˆ)(ˆ)ˆ()(ˆˆ)(ˆ††aDaDaraDraD⋅⋅−=⋅⋅arr−=′ˆˆarrQr+==′rQˆ1−=二、空间反演变换rPrr⋅=−=′)(11rPrPr−⋅=′=−−rrP−=⋅−11−=PP1.宇称算符⋅=′ψψ|πˆ|)(πˆ)(rrψψ=′)(1rP−=ψ)(r−=ψ)()(πˆrr−=ψψ系统反演不变，为幺正算符πˆ1πˆπˆπˆπˆ††==)()(πˆ)(πˆπˆ)(πˆ2rrrrψψψψ=−=⋅=又：1πˆπˆπˆ2=⋅=†πˆπˆ=既是幺