群表示理论

第二章群表示理论2.1群的矩阵表示2.2等价、幺正、可约和不可约表示2.3舒尔引理2.4基函数的性质2.5表示的特征标2.6群元空间和类空间2.7正规表示2.8不可约表示的完备性2.9表示的直积2.10直积群的表示2.11表示的构成2.1群的表示线性空间V上有一个线性算符群与群G={E,A1,A2,…Ag}同态，则集合T称为群G在该线性空间上的表示。V称为表示空间，V的维数为表示的维数。gATATATETT,,,21群表示的定义一：V：基矢，一个算符一定与一个矩阵对应。jjijiRMuuRTGR,RMRTiu群表示的定义二：设G是群，D是一个方阵集合，如果D与G同态，则称D是G的一个表示。与群元A对应的矩阵D(A)称为群元A的表示矩阵。根据定义，A，BG，若方矩阵D(A)A和D(B)B，则有D(A)D(B)=D(AB).如果D与G同构，则D称为G的真实(faithful)表示。若同态，则称非真实表示。任意一个有限群都存在单位表示。43.如何确定群的表示（非单位表示）例1.D3群在三维实空间的表示。群元R↔算符T(R)，则M(R)是群元R的一个表示。jjijiRMuuRT'''2''2'22333,,,,,:CCCCCED空间基矢，任意矢量ˆ,ˆ,ˆ321eee321ˆˆˆezeyexr10000)(212323213CM100010001)('2CMC3作用在三维空间基矢上得到其矩阵表示。作用在三维空间基矢上得到其矩阵表示。'2C3De3c23c2c2c2cee3c23c2c2c2c3c3c23ce2c2c2c23c23ce3c2c2c2c2c2c2c2ce3c23c2c2c2c2c23ce3c2c2c2c2c3c23ce6D3群的乘法表7100010001EM10000)(212323213CM10000)(100010001)(21232321'''22CMCM10000)(10000)(21232321'''21232321232CMCM群元R↔算符T(R)，则M(R)是群元R的一个表示。jjijiRMuuRT'''2''2'22333,,,,,:CCCCCED例2.群在以为基矢的二维函数空间中的矩阵表示。3Dxyruyxru2,2221作业：写出C3v群在三维空间的表示矩阵。