一种权重未知的多属性多阶段决策方法

第28卷第6期Vol.28No.6控制与决策ControlandDecision2013年6月Jun.2013一种权重未知的多属性多阶段决策方法文章编号:1001-0920(2013)06-0940-05刘勇1,JeffreyForrest2,刘思峰1,赵焕焕1,菅利荣1(1.南京航空航天大学经济与管理学院，南京211106；2.宾州滑石大学数学系，滑石16057)摘要:针对属性权重与时间权重未知且属性值为区间数的一类决策问题,提出一种新的多属性多阶段决策方法.该方法首先无量纲化处理属性值,并运用灰色关联方法确定各阶段属性值的权重;然后综合考虑属性测度值与正、负理想效果值的接近性和时间权重本身的不确定性,运用极大熵原理建立多目标优化模型,并利用拉格朗日乘子法求解获得时间权重表达式,从而确定对象的综合评价值;最后通过实例验证了该方法的合理性与有效性.关键词:灰色关联分析；极大熵原理；多目标优化模型；时间权重中图分类号:N94文献标志码:AMulti-attributeandmultistagedecision-makingmethodwithunknownweightsLIUYong1,JeffreyForrest2,LIUSi-feng1,ZHAOHuan-huan1,JIANLi-rong1(1.CollegeofEconomicsandManagement,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics，Nanjing211106，China;2.MathematicsDepartment，SlipperyRockUniversityofPennsylvania，SlipperyRock16057，USA.CorrespondentLIUYong，E-mail：[e-mail])Abstract:Forthemulti-attributeandmultistagedecision-makingproblemthattheattributeweightsandtimeweightsineachdecisionstageareunknownandtheattributevalueisintervalnumbers,anewdecision-makingmethodisproposed.Firstly,theoriginaldecisionmakinginformationforeachstageisstandardized,andthengreyrelationalanalysismethodisusedtodeterminetheweightofattributevaluesofeachstage.Takingtheproximityoftheattributemeasurementvalueandpositivenegativedesiredeffectvalueandtheuncertaintyoftimeweightintoaccount,amulti-objectiveoptimizationmodelbasedonthemaximumentropyprincipleisestablished,andtimeweightsexpressionisobtainedbyusingLagrangemultipliermethod,sothatthecomprehensivevalueandsortforeachobjectcanbedetermined.Finally,anexampleisgiventoverifytheeffectivenessandfeasibilityofthemodel.Keywords:greyrelationalanalysis；maximumentropyprinciple；multi-objectiveoptimizationmodel；timeweight0引引引言言言多准则决策理论和方法已成为决策科学、系统工程、管理与运筹等研究领域中十分活跃的课题[1-3].随着社会和经济的快速发展、决策问题的复杂性和不确定性以及人们对快速变化的决策环境认识的模糊性不断增强,在实际的决策中,决策信息通常呈现一定的模糊性、随机性或灰色性,此时决策信息往往以区间数形式给出,相应地,对区间数多属性决策问题的研究已成为决策界所关注的课题.目前,已有的研究主要分为5个方面:1)属性权重已知、属性值以区间数给出的区间数多属性决策问题[2-4];2)属性权重部分已知、属性值以区间数给出的区间数多属性决策问题[5-7];3)属性权重完全未知、属性值以区间数给出的区间数多属性决策问题[8-10];4)考虑方案偏好的针对属性权重完全未知、属性值以区间数给出的区间数多属性决策问题[11-12];5)不完全信息下的群体多属性决策问题[13-15].以上研究只关注单阶段的区间数多属性决策问题,而对于多阶段的区间数多属性决策问题只有少量研究[16-20],且这些研究均没有解决时间权重设置的问题.纵观多属性多阶段和属性值为区间数的相关研究,对于属性权重和时间权重均未知,且属性值以区间数收稿日期:2012-03-06；修回日期:2012-08-08.基金项目:国家自然科学基金项目(71173104,71171113,70901041)；南京航空航天大学博士学位论文创新与创优基金项目(BCXJ12-12)；江苏省普通高校研究生科研创新计划项目(CXLX12-0175).作者简介:刘勇(1985−),男,博士生,从事灰色理论的研究；刘思峰(1955−),男,教授,博士生导师,从事灰色系统理论、数量经济等研究.DOI10.13195/j.cd.2013.06.142.liuy.008第6期刘勇等:一种权重未知的多属性多阶段决策方法941形式给出的动态多属性决策的研究较为少见.针对这类决策问题,本文运用灰色关联分析方法确定各阶段属性值的权重,并根据极大熵原理,建立了多目标优化模型.利用拉格朗日乘子法求解时间权重,进而确定评价对象综合值和对对排进行排序.最后以实例验证了该方法的有效性.1多多多属属属性性性多多多阶阶阶段段段决决决策策策模模模型型型设多属性多阶段决策问题𝐷,评价对象集𝑆={𝑠1,𝑠2,⋅⋅⋅,𝑠𝑛},属性集𝐴={𝑎1,𝑎2,⋅⋅⋅,𝑎𝑚},阶段集𝑇={𝑡1,𝑡2,⋅⋅⋅,𝑡𝑝}.对象在𝑡𝑘阶段对属性𝑎𝑗的属性值为𝑥𝑘𝑖𝑗(𝑖=1,2,⋅⋅⋅,𝑛,𝑗=1,2,⋅⋅⋅,𝑚,𝑘=1,2,⋅⋅⋅,𝑝),由于决策信息并非具体的精确数,而是区间数,记为𝑢𝑘𝑖𝑗=[𝑥𝑘𝐿𝑖𝑗,𝑥𝑘𝑈𝑖𝑗].其中:𝑥𝑘𝐿𝑖𝑗和𝑥𝑘𝑈𝑖𝑗分别为属性值的上限和下限;𝑤𝑘𝑗为𝑡𝑘阶段属性𝑎𝑗的权重,𝑤𝑘为时间权重,𝑤𝑘𝑗和𝑤𝑘均未知,且𝑚∑𝑗=1𝑤𝑘𝑗=1,𝑝∑𝑘=1𝑤𝑘=1.1.1属属属性性性权权权重重重的的的确确确定定定灰色关联分析是一种多因素的分析方法,通过对发展变化系统在各时期有关统计数据几何关系的比较分析,确定出影响系统发展的优、劣因素,进而获得各因素的重要程度.其实质是根据序列曲线的相关程度判断其联系是否紧密,两个曲线越相关,序列之间的关联度越大.鉴于此,本文运用灰色关联分析方法求解属性权重[21],其步骤如下.Step1:确定被评价对象在𝑡𝑘阶段属性值矩阵并规范化处理,得到属性测度值矩阵为𝑅𝑘=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣[𝑥𝑘𝐿11,𝑥𝑘𝑈11][𝑥𝑘𝐿12,𝑥𝑘𝑈12]...[𝑥𝑘𝐿1𝑚,𝑥𝑘𝑈1𝑚][𝑥𝑘𝐿21,𝑥𝑘𝑈21][𝑥𝑘𝐿22,𝑥𝑘𝑈22]...[𝑥𝑘𝐿2𝑚,𝑥𝑘𝑈2𝑚]............[𝑥𝑘𝐿𝑛1,𝑥𝑘𝑈𝑛1][𝑥𝑘𝐿𝑛2,𝑥𝑘𝑈𝑛2]...[𝑥𝑘𝐿𝑛𝑚,𝑥𝑘𝑈𝑛𝑚]⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦,(1)其中𝑟𝑘𝑖𝑗=[𝑟𝑘𝐿𝑖𝑗,𝑟𝑘𝑈𝑖𝑗].Step2:构造正理想方案𝑟+𝑘𝑗={𝑟+𝑘1,𝑟+𝑘2,⋅⋅⋅,𝑟+𝑘𝑚}={[𝑟(+𝑘)𝐿1,𝑟(+𝑘)𝑈1],[𝑟(+𝑘)𝐿2,𝑟(+𝑘)𝑈2],⋅⋅⋅,[𝑟(+𝑘)𝐿𝑚,𝑟(+𝑘)𝑈𝑚]},(2)其中𝑟+𝑘𝑗=max𝑖{(𝑟𝑘𝐿𝑖𝑗+𝑟𝑘𝑈𝑖𝑗)/2∣1⩽𝑖⩽𝑛}.Step3:计算第𝑖个被评价对象在𝑡𝑘阶段属性测度值与正理想方案属性值的区间关联系数𝜉+𝑘𝑖𝑗=min𝑖min𝑗𝑑+𝑘𝑖𝑗+𝜌max𝑖max𝑗𝑑+𝑘𝑖𝑗𝑑+𝑘𝑖𝑗+𝜌max𝑖max𝑗𝑑+𝑘𝑖𝑗.(3)其中:𝑑+𝑘𝑖𝑗为[𝑟𝑘𝐿𝑖𝑗,𝑟𝑘𝑈𝑖𝑗]到[𝑟(+𝑘)𝐿𝑗,𝑟(+𝑘)𝑈𝑗]的距离,𝜌一般取0.5.Step4:计算𝑡𝑘阶段属性权重𝑤𝑘𝑗=𝑛∑𝑖=1𝜀+𝑘𝑖𝑗/𝑚∑𝑗=1𝑛∑𝑖=1𝜀+𝑘𝑖𝑗,𝑖=1,2,⋅⋅⋅,𝑛,𝑗=1,2,⋅⋅⋅,𝑚,𝑘=1,2,⋅⋅⋅,𝑝.(4)1.2时时时间间间权权权重重重的的的确确确定定定根据被评价对象𝑆𝑖在𝑡𝑘阶段属性测度值𝑟𝑘𝑖𝑗=[𝑟𝑘𝐿𝑖𝑗,𝑟𝑘𝑈𝑖𝑗]确定𝑡𝑘阶段正、负理想对象方案,分别为𝑟+𝑘𝑗={𝑟+𝑘1,𝑟+𝑘2,⋅⋅⋅,𝑟+𝑘𝑚},𝑟−𝑘𝑗={𝑟−𝑘1,𝑟−𝑘2,⋅⋅⋅,𝑟−𝑘𝑚}.相应地,被评价对象𝑆𝑖在𝑡𝑘阶段属性测度值与正、负理想测度的偏差为𝑑+𝑘𝑖𝑗=√22[(𝑟𝑘𝐿𝑖𝑗−𝑟(+𝑘)𝐿𝑗)2+(𝑟𝑘𝑈𝑖𝑗−𝑟(+𝑘)𝑈𝑗)2]12,(5)𝑑−𝑘𝑖𝑗=√22[(𝑟𝑘𝐿𝑖𝑗−𝑟(−𝑘)𝐿𝑗)2+(𝑟𝑘𝑈𝑖𝑗−𝑟(−𝑘)𝑈𝑗)2]12.(6)被评价对象𝑆𝑖在𝑡𝑘阶段的综合正、负偏差分别为𝐷+𝑘𝑖=𝑚∑𝑗=1𝑑+𝑘𝑖𝑗𝑤𝑘,(7)𝐷−𝑘𝑖=𝑚∑𝑗=1𝑑−𝑘𝑖𝑗𝑤𝑘.(8)被评价对象𝑆𝑖的正、负综合偏差测度分别为𝐷+𝑖=𝑝∑𝑘=1𝑚∑𝑗=1𝑑+𝑘𝑖𝑗𝑤𝑘,(9)𝐷−𝑖=𝑝∑𝑘=1𝑚∑𝑗=1𝑑−𝑘𝑖𝑗𝑤𝑘.(10)相应地,所有被评价对象的正、负综合偏差分别为𝐷+=𝑛∑𝑖=1𝑝∑𝑘=1𝑚∑𝑗=1𝑑+𝑘𝑖𝑗𝑤𝑘,(11)𝐷−=𝑛∑𝑖=1𝑝∑𝑘=1𝑚∑𝑗=1𝑑−𝑘𝑖𝑗𝑤𝑘.(12)时间权重的确定应使得正理想偏差总量最小,负理想偏差总量最大,相应地,可以转化为以下多目标规划问题:min𝐷+(𝑤𝑘)=𝑛∑𝑖=1𝑝∑𝑘=1𝑚∑𝑗=1𝑑+𝑘𝑖𝑗𝑤𝑘,max𝐷−(𝑤𝑘)=𝑛∑𝑖=1𝑝∑𝑘=1𝑚∑𝑗=1𝑑−𝑘𝑖𝑗𝑤𝑘;s.t.𝑝∑𝑘=1𝑤𝑘=1,𝑤𝑘⩾0,𝑘=1,2,⋅⋅⋅,𝑝.(13)由于信息不全的决策系统其权重本身具有一定的不确定性,应使时间权重序列的不确定尽量减少.由熵定义[22]可将时间权重作如下定义:𝐻(𝑤)=−𝑝∑𝑘=1𝑤𝑘ln𝑤𝑘.(14)由极大熵原理可以将时间权重序列𝑤𝑘(𝑘=1,2,⋅⋅⋅,𝑝)的权重尽量减少,因此,其极大熵模型为942控制与决策第28卷max𝐻(𝑤)=−𝑝∑𝑘=1𝑤𝑘ln𝑤𝑘;s.t.𝑝∑𝑘=1𝑤𝑘=1,𝑤𝑘⩾0,𝑘=1,2,⋅⋅⋅,𝑝.(15)引入协调平衡系数𝜇,在式(13)中,正理