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1圆锥曲线与方程一、选择题1.双曲线3x2-y2=9的实轴长是()A.23B.22C.43D.422.以x24-y212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()A.x216+y212=1B.x212+y216=1C.x216+y24=1D.x24+y216=13.对抛物线y=4x2,下列描述正确的是()A.开口向上,焦点为(0,1)B.开口向上,焦点为0,116C.开口向右,焦点为(1,0)D.开口向右,焦点为0,1164.若k∈R,则k3是方程x2k-3-y2k+3=1表示双曲线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.若双曲线x23-16y2p2=1的左焦点在抛物线y2=2px(p0)的准线上,则p的值为()A.2B.3C.4D.426.设双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为()A.4B.3C.2D.17.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足MF1→·MF2→=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B.0,12C.0,22D.22,18.已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.14,-1B.14,1C.12,-1D.12,19.已知直线l与抛物线y2=8x交于A、B两点,且l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),则线段AB的中点到准线的距离是()A.254B.252C.258D.2510.设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.52D.511.若双曲线x29-y24=1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小,抛物线y2=2px(p0)通过点A,则p的值为()2A.92B.2C.21313D.131312.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支上存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率e的取值范围为()A.[2,+∞)B.[2,+∞)C.(1,2]D.(1,2]二、填空题13.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的离心率为______.14.椭圆x24+y2=1的两个焦点F1,F2,过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其中一个交点为P,则|PF2|=______.15.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y21+y22的最小值是________.16.F1,F2分别是椭圆x22+y2=1的左,右两个焦点,过F2作倾斜角为π4的弦AB,则△F1AB的面积为________.三、解答题17.已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.18.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.19.已知双曲线的方程为x2-y22=1,试问:是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.20.设圆C与两圆(x+5)2+y2=4,(x-5)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M(355,455),F(5,0),且P为L上的动点,求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.21.过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点.求证:△AOB不是直角三角形.22.已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程;(2)求△PAB的面积.3圆锥曲线与方程测试题答案1.A2.D3.B4.A5.C6.C7.C8.A9.A10.D11.C12.C13.1214.7215.3216.4317.1618.(1)-1(2)(x-2)2+(y-1)2=419.解如图所示,设被B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程x2-y22=1,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0,∴Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)0.解得k32,且k≠±2,∴x1+x2=2kk-1k2-2.∵B(1,1)是弦的中点,∴kk-1k2-2=1.∴k=232.故不存在被点B(1,1)所平分的弦.20.解(1)设圆C的圆心坐标为(x,y),半径为r.圆(x+5)2+y2=4的圆心为F1(-5,0),半径为2,圆(x-5)2+y2=4的圆心为F(5,0),半径为2.由题意得|CF1|=r+2,|CF|=r-2或|CF1|=r-2,|CF|=r+2,∴||CF1|-|CF||=4.∵|F1F|=254.∴圆C的圆心轨迹是以F1(-5,0),F(5,0)为焦点的双曲线,其方程为x24-y2=1.(2)由图知,||MP|-|FP||≤|MF|,∴当M,P,F三点共线,且点P在MF延长线上时,|MP|-|FP|取得最大值|MF|,且|MF|=355-52+455-02=2.直线MF的方程为y=-2x+25,与双曲线方程联立得y=-2x+25,x24-y2=1,整理得15x2-325x+84=0.解得x1=14515(舍去),x2=655.此时y=-255.∴当||MP|-|FP||取得最大值2时,点P的坐标为(655,-255).21.证明∵焦点F为(1,0),过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为ky=x-1,代入4抛物线y2=4x,得y2-4ky-4=0,则有yAyB=-4,则xAxB=y2A4·y2B4=1.又|OA|·|OB|cos∠AOB=·=xAxB+yAyB=1-4=-30,得∠AOB为钝角,故△AOB不是直角三角形.22.解(1)由已知得c=22,ca=63.解得a=23,又b2=a2-c2=4.所以椭圆G的方程为x212+y24=1.(2)设直线l的方程为y=x+m.由y=x+mx212+y24=1,得4x2+6mx+3m2-12=0.①设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),AB中点为E(x0,y0),则x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4;因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB.所以PE的斜率k=2-m4-3+3m4=-1.解得m=2.此时方程①为4x2+12x=0.解得x1=-3,x2=0.所以y1=-1,y2=2.所以|AB|=32.此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d=|-3-2+2|2=322,所以△PAB的面积S=12|AB|·d=92.
本文标题:高中数学圆锥曲线与方程测试题
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