函数值域的求法大全

函数值域的求法大全题型一求函数值：特别是分段函数求值例1已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(3)]的值.解(1)∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝11＋11＝112.反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.跟踪训练4已知函数f(x)＝x＋1x＋2.(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].解(1)∵f(x)＝x＋1x＋2，∴f(2)＝2＋12＋2＝34.(2)f(1)＝1＋11＋2＝23，f[f(1)]＝f(23)＝23＋123＋2＝58.5.已知函数f(x)＝x2＋x－1.(1)求f(2)，f(1x)；(2)若f(x)＝5，求x的值.解(1)f(2)＝22＋2－1＝5，f(1x)＝1x2＋1x－1＝1＋x－x2x2.(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，∴x＝2，或x＝－3.(3)4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，则f(5)＝________.答案6解析f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f(2)＝f(1)＋1＝3，f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6.二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}；当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}.例1求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②）（3x1x32)(xf③xxy1（记住图像）解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②略4321-1-2-3-4-6-4-2246y=xo-2-112fx=x+1x③当x0，∴xxy1=2)1(2xx2，当x0时，)1(xxy=－2)1(2xx2∴值域是]2,([2，+).（此法也称为配方法）函数xxy1的图像为：二次函数在区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①142xxy；②；]4,3[,142xxxy③]1,0[,142xxxy；④]5,0[,142xxxy；解：∵3)2(1422xxxy，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，miny=-2，maxy=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，miny=-2，maxy=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，miny=-3，maxy=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数)0()(2acbxaxxf,⑴若定义域为R时，奎屯王新敞新疆321-1-2-3654321-1-2xOy①当a0时，则当abx2时，其最小值abacy4)4(2min；②当a0时，则当abx2时，其最大值abacy4)4(2max;⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若0x[a,b],则)(0xf是函数的最小值（a0）时或最大值（a0）时，再比较)(),(bfaf的大小决定函数的最大（小）值.②若0x[a,b],则[a,b]是在)(xf的单调区间内，只需比较)(),(bfaf的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y=3+x32的值域解：由算术平方根的性质，知x32≥0，故3+x32≥3。∴函数的值域为,3.2、求函数5,0,522xxxy的值域解：对称轴5,01x20,420,54,1maxmin值域为时时yxyx1单调性法例3求函数y=4x－x31(x≤1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)=－x31,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-x31在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+x4的值域。(答案：｛y|y≥3｝)2换元法例4求函数xxy12的值域解：设tx1，则)0(122ttty2,21,01max值域为，时当且开口向下，对称轴ytt点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=xx1的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝求xxxxcossincossin1的值域；例5（三角换元法）求函数21xxy的值域解：11x设,0cosx2,12,1)4sin(2sincossincos原函数的值域为y小结：（1）若题目中含有1a，则可设)0,cos(22,sinaa或设（2）若题目中含有122ba则可设sin,cosba，其中20（3）若题目中含有21x，则可设cosx，其中0（4）若题目中含有21x，则可设tanx，其中22（5）若题目中含有)0,0,0(ryxryx，则可设22sin,cosryrx其中2,03平方法例5（选）求函数xxy53的值域解：函数定义域为：5,3x2,24,21,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由yxxxxxxxy4分离常数法例6求函数21xxy的值域由1231232xxxy，可得值域1yy小结：已知分式函数)0(cdcxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cayy；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay，用复合函数法来求值域。练习求函数6412xxy的值域求函数133xxy的值域求函数y=1212xx的值域；（y∈(-1，1)）例7求13xxy的值域解法一：（图象法）可化为3,431,221,4xxxxy如图，观察得值域44yy解法二：（不等式法）414114)1(134)1()3(13xxxxxxxxxx同样可得值域练习：1yxx的值域,1例8求函数)1,0(239xyxx的值域解：（换元法）设tx3，则31t原函数可化为8,28,3;2,13,121,2maxmin2值域为时时对称轴ytytttty例9求函数xxy2231的值域解：（换元法）令1)1(222xxxt，则)1(31tyt由指数函数的单调性知，原函数的值域为,31例10求函数)0(2xyx的值域-10134-4xy10xy01t2t解：（图象法）如图，值域为1,0（换元法）设tx13，则111131113113ttyxxx101101ytt1,0原函数的值域为例13函数1122xxy的值域解法一：（逆求法）110112yyyx1,1原函数的值域为解法二：（换元法）设tx12，则原函数值域即得112201ytt解法三：（判别式法）原函数可化为010)1(2yxxy1）1y时不成立2）1y时，110)1)(1(400yyy11y综合1）、2）值域}11|{yy解法四：（三角换元法）Rx设2,2tanx，则1,12cos,22costan1tan122y原函数的值域为}11|{yy2例14求函数34252xxy的值域解法一：（判别式法）化为0)53(422yyxyx1）0y时，不成立2）0y时，0得500)53(8)4(yyyy50y综合1）、2）值域}50|{yy解法二：（复合函数法）令txx3422，则ty511)1(22xt50y所以，值域}50|{yy例15函数11xxy的值域解法一：（判别式法）原式可化为解法二：（不等式法）1）当0x时，321yxx2）0x时，综合1）2）知，原函数值域为,31,例16(选)求函数)1(1222xxxxy的值域解法一：（判别式法）原式可化为02)2(2yxyx01)1(2xyx,31,1304)1(02原函数值域为或yyy12)(1)(1yxxxx51tt50,221220)2(4)2(02原函数值域为舍去或yxyyyy解法二：（不等式法）原函数可化为)1(211111)1(2xxxxxy当且仅当0x时取等号，故值域为,2例17（选）求函数)22(1222xxxxy的值域解：（换元法）令tx1，则原函数可化为)31(1ttty。。。小结：已知分式函数)0(2222dafexdxcbxaxy，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选）)(二次式一次式或一次式二次式yy的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数)0(xxaxy的单调性去解。利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法