2020高考数学复习之空间几何体外接球和内切球解题策略

第1页（共11页）一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．2020年高考数学—几何体外接圆和内切球第2页（共11页）（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．第3页（共11页）二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。第4页（共11页）的四个顶点均在球的球面上，和A.B.C.D.巩固强化训练1、已知如图所示的三棱锥所在的A.B.C。D。点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（B）积的最大值为，则球的表面积为(C)A.B.C.解析：如图所示，当点位于垂直于面D.的直径端点时，三棱锥的体积最大，4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（D）故，则球的表面积为，故选.平面互相垂直，，，，则球的表面积为(C)解析：如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选．解析：设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则可知，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体设球的半径为，此时，第5页（共11页）距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（B）解析：∵，∴，∴圆心在平面的射影为的中点，6、某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为（C）7、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一A.B.C.D.解析：该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得,，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的A.B.C.D.∴，∴．∴，当线段为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为.A.B.C.D.解析：此几何体是底面边长为，高为的正四棱锥，可算出其体积为，表面积为.令内切球的半径为，则，从而内切球的体积为，故选C.平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（B）第6页（共11页）度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为A.B.C.D.A.解析：题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长8、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为(B)解析：由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体9、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为(A)解析：如图：10、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为(D)，于是,，进而球的体积.故选.的对角线长为，则球半径为，则.故选.A.B.C.D.设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.B.C.D.第7页（共11页）设球的半径为，则，∵，∴，解得：，∴外接球的表面积为.解析：设球心为,正三棱柱的上下底面的中心分别为，，底面正三角形的边长为，则，由已知得底面，在中，,由勾股定理得，故三棱柱体积，解析：底面正三角形外接圆的半径为，圆心到底面的距离为，从而其外接圆的半径A.解析：此几何体是三棱锥是底面直角三角形斜边，底面是斜边长为的等腰直角三角形，且顶点在底面内的射影的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在上.11、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为.12、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为.13、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为.B.C.D.解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆⊙和外切圆⊙，且两圆同圆心，即内心与外心重合，易得为正三角形，由题意⊙的半径为，∴的边长为的，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．又，所以，则.，则该球的表面积.14、若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则.解析：设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体第8页（共11页）16、已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为．棱锥外接球的体积为18、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为，则三棱柱,所以答案为:.高的，即，因此内切球表面积为，则.15、若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则.解析：设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则.解析：设正的外接圆圆心为，易知，在中，，故球的表面积为.17、在三棱锥中,平面，，，,则此三解析：根据题意球心到平面的距离为，在的外接圆的半径为，所以球的半径为,所以此三棱锥的外接球的体积为接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为.解析：设所给半球的半径为，则棱锥的高，底面正方形中有，所以其体积，则，于是所求半球的体积为.19、三棱柱的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方的最大体积为.解析：依题意,外接球的表面积为,所以.如图所示,三棱柱外接圆球心为,设,在直角三角形中,所以.三棱柱的体积为,当且仅当时取得最大值第9页（共11页）2222.20、一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为.1、一个圆锥的母线长为2提升训练π(B)，圆锥的母线与底面的夹角为4，则圆锥的内切球的表面积为32（4－2）2A.8πB.4(2－2)2πC.4(2＋2)2ππD.49π解析(1)圆锥的母线长为2，母线与底面的夹角为4，所以圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆的半径为2，其内切圆半径即为圆锥的内切球的半径，可设圆锥内切球的半径为r，则1×21112r＋×2r＋×22r＝×2×2，∴r＝＝2－2，2＋2所以，圆锥内切球的表面积为4πr2＝4(2－2)2π.2、在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为(D)A.13πB.20πC.25πD.29π解析：把三棱锥P－ABC放到长方体中，如图所示，所以长方体的体对角线长为22＋32＋42＝29，29292所以三棱锥外接球的半径为2，所以外接球的表面积为4π×＝29π.23、在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是().解析：由已知可得长方体的体对角线为球的直径：,所以.所以球的面积为第10页（共11页）2sin60°＝S＝×2A.4πB.9π解析：AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.C.6π32πD.3要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.11则2×6×8＝2×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.349由2R＝3，即R＝2.故球的最大体积V＝3πR3＝2π.4、如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝3，BC＝CD＝BD＝23，则球O的表面积为(C)A.4πB.12πC.16πD.36π解析：如图所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB为直角，即△ABC外接圆的圆心为BC的中点O′.△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，则球心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R＝2，球的表面积为S＝4πR2＝16π.5、设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(B)A.12B.18C.24D.5416解析：设等边△ABC的边长为x，则x2sin60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－（23）2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d＝d＋4＝6.所以三棱锥D－ABC体积的最大值V1×6193×6＝183.1max3△ABC36、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P－ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R＝；内切球的体积V＝.3333第11页（共11页）3解析：在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，则(2R)241＝AB2＋AD2＋AP2＝16＋16＋9＝41，因此R＝2.依题意Rt△PAB≌Rt△PAD，则内切球O在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，144故内切球的半径r＝2(3＋4－5)＝1，则V＝3πr3＝3π.7、已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为.解析：如图，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，所以OA⊥SC，OB⊥SC.因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA⊂平面SAC，所以OA⊥平面SBC.1111设球的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，所以VASBC＝×SSBC×OA＝××2r×r×r＝r3，—3△1所以r3＝9⇒r＝3，所以球的表面积为4πr2＝36π.323