立体几何中长方体和三棱柱的外接球模型

1.长方体的外接球模型1.1长方体的外接球1.2长方体的外接球模型对于三棱锥来说，如果满足共顶点的三条棱两两垂直或者有线面垂直和线线垂直，可考虑把三棱锥补成长方体，转化为长方体的外接球问题.云上的点，SA1-平面AB1C,.ABJ_B1C,SA=AB=1,BC=拉，，则球0的表面积等千（）A.4冗B.3冗C.2万D..冗解；因为SA上平面ABC,所以SA上AB,SA1-BC,又AB1-B1C,如图1,,故将三棱锥S-ABC补成长方体，如困,2?r则三棱锥-AB1C的外接球即长方体的外接球，所以(2R)2=AB2+BC气SA2=4,球O的表面积,S'=4R1冗=4冗量选Aii例2(2010年辽宁卷）已知S,A,B,,C是球0表而BIC图2B阳1s一一一匣品．”“＿＿＿－严L4卢－-睿护。毋l­嘻•品－－-一壹一­．JJl－＿严臧子，已b＿-＿丰一，，一护';1，i,-LIIllIIIIIII.I-ILIrI111111111曝勾11乒．簪护品葩＿＿＿，，才提­,更J乒”－,s亨云.:_亢-DA=AB=B1C=·/3,则球0的体积等于解：因为DA_l_平面AB1C,得DA._l_AB,DA_l_BCj又AB上BL,所以可把三棱锥D-AB1C补成长方体，如图4三棱锥D'-ABC的外接球即长方体的外接球3所以4R2=3+3•·+3=91,R=.........2所以球0的体积V_::=:4R3=9汇32DD例3(20-108年浙江卷）如图3,.,已知球0的面上四点A,B,C_,D',DA上平面ABC,AB立＂A歹B＿一，一i一一j玉－-哑哩湮雹孕乒毋J/0名害J重；墨亨l二彝且扩二，妒．亨雯至-­护4f1-,,上1,1IIIIIIIIIIII唐石倡11iiiI11”清妒护－－，,毋夕r嘉一虎，护­，5旦cB3cBD=五，BD上CD.将其沿对角线BD折成四而体ABCD,使平面ABD上平面B1CD1,如图6若四面体AB1CD的顶点在同一球面上，则该球的体积为()石斤A;-Bio,3冗C·＄-—斤D2冗23D胆5图6解；因为CDl.BD,且平面ABD上平而BCD,所以CD_l_平面ABD,由AB_l_.AD故可把三棱锥C-ABD放到正方体中，如图7...3所以4Rd,=3x12.=3.,R=—-,2所以球的体积v-4=-邧3Ji斤．选A,2例4(20117年云南师大附中高三月考）如图5,在平面四边形AB1CD中，AB=AD=CD=1,DcB侧棱长均为3'则其外接球的表面积是通解：因为三棱锥的三条侧棱两两垂宣且长度相等，故可把三棱锥放到正方体中，问题转化为求棱长为3的正方体的外接球的表面积，所以4,R2=4X3=12例5(2008年福建卷）若三棱锥的三条侧棱炳两垂表面积S4R坛12冗蠡;.-----Er.-r:r无,产，一回-r'少于乙尸2.三棱柱的外接球模型2.1三棱柱的外接球2AB=c,A1C=b:,BC=a,AA'=hj设其外接球的球心为0,半径为R,过球心0作两个底面的垂线，垂足分别为01'02J则OA=OB=OC=R,如图8,可知RtIOlOlA军6100]B=Rt60101C夕所以a]是ABC的外心，同理01是6A1B1Cn.的外心，且001=002,如图9'在Rt丛001A中，O:A=R1001hII=-'现在的关键问题是求AOll.高中吸宇之豆1在直三棱柱ABC.......A'B'tCr'中，＿-g-l}lC=—:sinCI=2A011+—hIAO「:ml.,,＿ol．,，i－得，h定弦由，中A＿_-L＿＿＿1＿＿-＿＿2TB'-­|111:10IjIP1.1IIIIIIjI,II'，,,＿I:i-,ii,4-矗1111111111f虎＇，,f，-j.邑°A,01：,”iIIlj,R公,ABC在正理b,=—·ImBaI,由一边及其对角即得｀SlllI所以R2IA01I'=4CJ.4.I_。图图98J。a4则该球的表面积为（）A..7111如LB.---冗矿(.,—双'-D暹5窊ll.3.3解：如图l8,在正八ABC中由正弦定理得，2IA0,1I=sin610,0，即IAO]I=·旦../3-.-,a27al由勾股定理得，R2=IAO11*+-=-,12所以表面积S=4R2汀=-,re/选B.37例7(210110年新课程全国卷）设三棱柱的侧棱垂直千底面，所有棱长都为a,顶点都在一个球面上j，a-2＝—·lo11「，中A。lO＾tR在9，图女□2.2三棱柱的外接球模型在三梭锥PABCPA上底面ABCJ且LBAC=0(肛乌，则可三棱锥补成三棱柱，那么三2棱锥的外接球问题可转化为三棱柱的外接球问题，如开图10..若0=,-,则是长方体的外接球模型剿2-·,,o.｀,.,..,1。图iB＿＿＿1使二面角B-AD-C为巴，则四面体ABCD的外接3球的表而积为1解：如图11,将等腰直角6ABC沿斜边的高线AD将ABC折起，得四面体A-BCDJ如图12m因为，AD上D1C,.AD上DBJi得AD上平面.B1CD1.,.且.LBD1C就是二面角B-AD-C的平面角，得LBDC=60°,故可把四面体A-BrCD1放到三棱柱，如图13,AD=1:,100,1=-IBCD是边长为12的正三角形，由正弦定理得2C01I=1，如60°1c0il1=—Jj，所以R1=1callJ勹00112＝二77—,得外接12球的表面积S=4Rl冗＝＝万，3图11图12图13西中数学之初例9(20117年贵阴市二模）已知等腰直角6ABC的斜边BC7==2,沿斜边的高线AD将6ABC析起，D-nuBA,C例10(2017'年陕西省适应性考试）如图14,在ABC中，胚=BC=高，LABC=90°,D为AC的中点将6ABD沿BD折起到6PBV的位置使PC=PD,连接PC,得到三棱锥P-BCD,若该三棱锥的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为()A.7冗B..5冗C.3冗D..冗解：因为D的.AC中点且AB1BCi所以BD上DP,BD上DCj所以BD上平面PCD,且6PCD是芷三角形，故可把三棱锥B-PCD(图15)放到三棱柱（图116).由正弦定理得，21PIa•I=—=2,-·sim60°叫P01I=l'又11°011=-IBDI3=—,227所以R2=IPOl!+IOOl2=-t4故该球的表面积S=4R2斤=71r1选AB.b3