2020年全国高考数学试题及答案-新高考卷I(精编版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2x4}，则A∪B=A．{x|2x≤3}C．{x|1≤x4}2．2i12iB．{x|2≤x≤3}D．{x|1x4}A．1C．iB．−1D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种C．60种B．90种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为1A．20°C．50°B．40°D．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A．62%C．46%B．56%D．42%6．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)e描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A．1.2天C．2.5天B．1.8天D．3.5天rt7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是A．(2,6)C．(2,4)B．(6,2)D．(4,6)8．若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是A．[1,1][3,)B．[3,1][0,1]C．[1,0][1,)D．[1,0][1,3]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部2选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．已知曲线C:mxny1.A．若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n0，则C是圆，其半径为n22C．若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为yD．若m=0，n0，则C是两条直线10．下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=mxnπA．sin(x）3B．sin(ππ5πD．cos(2x)C．cos(2x）2x)36611．已知a0，b0，且a+b=1，则A．a2b212B．2ab12C．log2alog2b2D．ab212．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,P(Xi)pi0(i1,2,,n),pi1，定义X的信息熵H(X)pilog2pi.i1i1nn,n，且A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着pi的增大而增大1C．若pi(i1,2,n,n)，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,H(X)≤H(Y)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。,m，且P(Yj)pjp2m1j(j1,2,,m)，则13．斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．315．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，3垂足为C，tan∠ODC=，BH∥DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，5圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．16．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①ac3，②csinA3，③c3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA3sinB，C注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2a420,a38．（1）求{an}的通项公式；（2）记bm为{an}在区间(0,m](mN*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．19．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：，________?6SO2[0,50](50,150](150,475]4PM2.5[0,35](35,75](75,115]3263188741210（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？n(adbc)2附：K，(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2k)k0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21．（12分）已知函数f(x)aex1lnxlna．（1）当ae时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；5（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．22．（12分）x2y22已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，且过点A（2，1）．ab2（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．6参考答案一、选择题1．C5．C二、选择题9．ACD三、填空题13．1632．D6．B3．C7．A4．B8．D10．BC11．ABD12．AC14．3n22n15．54216．22四、解答题17．解：方案一：选条件①．a2b2c23由C和余弦定理得．62ab2由sinA3sinB及正弦定理得a3b．于是3b2b2c223b23，由此可得bc．2由①ac3，解得a3,bc1．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c1．方案二：选条件②．a2b2c23由C和余弦定理得．62ab2由sinA3sinB及正弦定理得a3b．于是3b2b2c223b232，由此可得bc，BC，A．263由②csinA3，所以cb23,a6．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c23．方案三：选条件③．a2b2c23由C和余弦定理得．62ab27由sinA3sinB及正弦定理得a3b．于是3b2b2c223b23，由此可得bc．2由③c3b，与bc矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．18．解：（1）设{an}的公比为q．由题设得a1qa1q320，a1q28．1解得q（舍去），q2．由题设得a12．2所以{an}的通项公式为an2n．（2）由题设及（1）知b10，且当2nm2n1时，bmn．所以S100b1(b2b3)(b4b5b6b7)(b32b33b63)(b64b65b100)0122223234245256(10063)480．19．解：（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32186864,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为640.64．100（2）根据抽查数据，可得22列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]264101610100(64101610)27.484．（3）根据（2）的列联表得K80207426由于7.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．20．解：8（1）因为PD底面ABCD，所以PDAD．又底面ABCD为正方形，所以ADDC，因此AD底面PDC．BC，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC．因为AD∥AD．因此l平面PDC．由已知得l∥（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，DC(0,1,0)，PB(1,1,1)．由（1）可设Q(a,0,1)，则DQ(a,0,1)．nDQ0,axz0,n(x,y,z)QCD设是平面的法向量，则即y0.nDC0,可取n(1,0,a)．所以cosn,PBnPB1a．|n||PB|31a23|a1|32a12．233a11a设PB与平面QCD所成角为，则sin因为为32a612，当且仅当a1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值3a136．321．解：f(x)的定义域为(0,)，f(x)aex11．x（1）当ae时，f(x)exlnx1，f(1)e1，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x2．直线y(e1)x2在x轴，y轴上的截距分别为因此所求三角形的面积为2．e192，2．e1（2）当0a1时，f(1)alna1．x1当a1时，f(x)ex1lnx，f(x)e1．x当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,)时，f(x)0．所以当x1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)1，从而f(x)1．当a1时，f(x)aex1lnxlnaex1lnx1．综上，a的取值范围是[1,)．22．解：41a2b21，解得a26，b23．（1）由题设得221，2aba2x2y21．所以C的方程为63（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)．若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为ykxm，x2y21得(12k2)x24