【新课标II卷】2020年全国统一高考数学模拟试题(理)(含答案)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．12i12i43A．i55243B．i5534C．i5534D．i552．已知集合AA．9x，yxy2≤3，xZ，yZ，则A中元素的个数为B．8C．5D．4exex3．函数fx的图像大致为x24．已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)A．4B．3C．2D．0x2y25．双曲线221(a0,b0)的离心率为3，则其渐近线方程为abA．y2x6．在△ABC中，cosA．42B．y3xC．y32xxD．y22C5，BC1，AC5，则AB25B．30C．29D．257．为计算S111111…，设计了右侧的程序框图，23499100开始N0,T0i1是1ii100否则在空白框中应填入A．ii1B．ii2C．ii3D．ii4NNTTSNT输出S结束1i18．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1189．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为1A．5B．56C．55D．2210．若f(x)cosxsinx在[a,a]是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π11．已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1x)f(1x)．若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)…f(50)A．50B．0C．2D．50x2y212．已知F1，F2是椭圆C：221(ab0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率ab为3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为623A．B．121C．3D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为__________．x2y50，14．若x,y满足约束条件x2y30，则zxy的最大值为__________．x50，15．已知sinαcosβ1，cosαsinβ0，则sin(αβ)__________．16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a17，S315．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．7，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的8为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000ˆ30.413.5t；根据2010年2，…，17）建立模型①：y年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，ˆ9917.5t．2…，7）建立模型②：y至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，，（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．20．（12分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．POBMAC21．（12分）已知函数f(x)exax2．（1）若a1，证明：当x0时，f(x)1；（2）若f(x)在(0,)只有一个零点，求a．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）x2cosθ，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为y4sinθx1tcosα，（t为参数）．y2tsinα（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数f(x)5|xa||x2|．（1）当a1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若f(x)1，求a的取值范围．参考答案:一、选择题1.D7.B2.A8.C3.B9.C4.B10.A5.A11.C6.A12.D二、填空题13.y2x三、解答题17.(12分)解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d=2.所以{an}的通项公式为an2n9.22（2）由（1）得Snn8n(n4)16.14.915.1216.402π所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为−16.18.(12分)解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ30.413.519226.1(亿元).y利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ9917.59256.5(亿元).y（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至ˆ9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变2016年的数据建立的线性模型y化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.(12分)解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2)，yk(x1),2222由2得kx(2k4)xk0.y4x2k24.16k160，故x1x2k224k24所以|AB||AF||BF|(x11)(x21).2k4k248，解得k1（舍去）由题设知，k1.k2因此l的方程为yx1.（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则y0x05,x03,x011,2解得或(y0x01)2y6.y216.00(x01)2因此所求圆的方程为(x3)(y2)16或(x11)(y6)144.20.(12分)解：（1）因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP23.2222连结OB.因为ABBC且OBAC，OB2AC，所以△ABC为等腰直角三角形，21AC2.2222由OPOBPB知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.uuur（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.uuur由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP(0,2,23),取平面PAC的法uuur向量OB(2,0,0).uuur设M(a,2a,0)(0a2)，则AM(a,4a,0).设平面PAM的法向量为n(x,y,z).uuuruuur2y23z0由APn0,AMn0得，可取n(3(a4),3a,a)，ax(4a)y0uuur所以cosOB,nuuur3.由已知得|cosOB,n|.222223(a4)3aa23(a4)所以23|a4|23(a4)23a2a2=34.解得a4（舍去），a.23uuuruuur834343,,).又PC(0,2,23)，所以cosPC,n所以n(.3334所以PC与平面PAM所成角的正弦值为21．（12分）2x【解析】（1）当a1时，f(x)1等价于(x1)e10．3.4设函数g(x)(x1)e2x1，则g'(x)(x22x1)ex(x1)2ex．当x1时，g'(x)0，所以g(x)在(0,)单调递减．而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1．（2）设函数h(x)1axe．2xf(x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点．（i）当a0时，h(x)0，h(x)没有零点；（ii）当a0时，h'(x)ax(x2)ex．当x(0,2)时，h'(x)0；当x(2,)时，h'(x)0．所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增．故h(2)14a是h(x)在[0,)的最小值．e2e2①若h(2)0，即a，h(x)在(0,)没有零点；4e2②若h(2)0，即a，h(x)在(0,)只有一个零点；4e2③若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，433316a16a16a110．由（1）知，当x0时，exx2，所以h(4a)14a12a214e(e)(2a)a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,)有两个零点．e2综上，f(x)在(0,)只有一个零点时，a．422．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）x2y2【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为1．416当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x1．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20．又由①得t1t24(2cossin)，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2．13cos223．[选修4-5：不等式选讲]（10分）2x4,x1,【解析】（1）当a1时，f(x)2,1x2,2x6,x2.可得f(x)0的解集为{x|2x3}．（2）f(x)1等价于|xa||x2|