河北省2020年新高一数学必修一第三章函数的概念与性质知识点总结(人教版)

2020年新高一数学必修一知识点总结第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。2.函数问题的共同特征：定义域、值域均为非空数集；定义域和值域间有一个对应关系；对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数与之对应。3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号f统一表示对应关系。【注】函数符号yfx是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。4.函数定义一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yfx,xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fxxA叫做函数的值域。5.函数的三要素：定义域；对应关系；值域。6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是由它的定义域和对应关系决定的。（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范围。如yx，则默认定义域是xx0（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：stvt,隐含着t0。6.几个特殊函数的定义域和值域（1）正比例函数ykxk0，定义域和值域都为全体实数R。（2）一次函数ykxbk0，定义域和值域都为全体实数R。（3）反比例函数ykk0，定义域为xx0，值域为yy0。x（4）一元二次函数yax2bxca0，定义域为R。4acb2当a0时，值域为yy；4a4acb2当a0时，值域为yy。4a17.区间及其表示设a,b是两个实数，且ab（注意：a不能等于b）。我们规定：（1）满足axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；（2）满足axb的实数x的集合叫做开区间，表示为a,b；（3）满足axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a,b和a,b；这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。（4）在数轴上表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。8.区间的几何表示，9.实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。10.我们把满足xa，xa，xb，xb的实数x，用区间分别表示为a,、a,、,b、,b。即11.在函数定义中，用符号fx表示函数，其中fx表示x对应的函数值，而不是f乘x。12.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。13.相等函数、同一函数：因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数，也称为相同函数、相等函数、同一函数。特别地，两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不同，那么它们不是相等函数。214.相等函数又叫相同函数、同一函数。指的是两个函数的三要素（定义域、对应关系、值域）完全相同的函数。而如果定义域和值域中有一个不同，即便两个函数的解析式相同也不是相等函数。这部分题多为选择题，做题的方法多为排除法。【注】1.相等函数的图象相同。2.相等函数的变量符号未必相同，如:yxx0和ytt0的定义域相同（都是非负实数）、对应关系相同（都是一个非负实数的算术平方根）、值域相同（都是yy0），所以它们两个是相等函数。xy2,y,，xy2,x,，ut2,t,，再如：这三个函数虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们三个都是相等函数。15.一个常用的相等函数（也是分段函数）：∵yx2x，∴yx2,xR和yx,xR是同一函数。3.1.2函数的表示法1.函数常见的表示法有三种：解析法、列表法和图像法。解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。图像法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。【注】函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。2.作图通常有列表、描点、连线三个步骤。【注意】如果函数的图象是离散的“点”时，则不能连线或用虚线连结。3.分段函数如果一个函数，在其定义域内，对应自变量x在不同的取值范围内，函数有不同的对应关系（表达式），则称这样的函数为分段函数。【注】（1）分段函数是一个函数，而不是多个函数。（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，并且分段函数各段间的定义域的交集为空集。（3）分段函数的值域是各段函数值域的并集。（4）分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成。（5）分段函数重要口诀：“分段函数分段画，分段函数分段求”。4.高中阶段几种常见的分段函数x,x0（1）fxx，图象为：x,x0yOx（2）取整函数fxx（x表示不大于x的最大整数）。5.函数解析式的求法，常见的有代入法、配凑法、换元法、待定系数法、构造方31程组解方程组法（多用于抽象函数，如已知fxf2x，求fx）。x6.对于多层函数ffa或fffa的形式，一般遵循从内往外求值的原则。7.函数图象的简单变换有平移变换、对称变换、翻折变换。（1）函数图象的平移变换左右平移变换：yfx与yfxayfxyfxaa0时，向左平移a个单位a0时，向右平移a个单位上下平移变换yfxyfxaa0时，向上平移a个单位a0时，向下平移a个单位【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。（2）对称变换yfxyfxyfxyfxyfxyfx（3）翻折变换yfxyfx。yfxyfx。y轴右侧的图象，保持不变y轴左侧的图象去掉，并把y轴右侧的图象翻折到y轴左侧x轴上方的图象，保持不变x轴下方的图象，沿x轴对称地翻折到x轴上方作关于原点对称的图象作关于x轴对称的图象作关于y轴对称的图象3.2函数的基本性质1.增函数和单调递增区间一般地，设函数fx的定义域为I，区间DI：如果x1,x2D，当x1x2时，都有fx1fx2，那么就称函数fx在区间D上单调递增。特别地，当函数fx在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。图象特点：在区间D上，沿x轴正向从左向右看图象呈上升趋势。2.减函数和单调递减区间一般地，设函数fx的定义域为I，区间DI：如果x1,x2D，当x1x2时，都有fx1fx2，那么就称函数fx在区间D上单调递减。特别地，当函数fx在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。图象特点：在区间D上，沿x轴正向从左向右看图象呈下降趋势。3.定义法判断或证明函数单调性的步骤可以归纳为：取值定大小，作差和变形，定号给结论，3个关键步骤。4.复合函数的单调性4复合函数yfux的单调性，遵循“同增异减”的原则.其中yfu是外层函数，uux是内层函数,有以下几种情况：①yfu，uux，则yfux；②yfu，uux，则yfux；③yfu，uux，则yfux；④yfu，uux，则yfux；5.如果函数yfx在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yfx在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yfx的单调区间。6.函数yfx在a,b上是增函数任取x1,x2a,b，且x1x2时，都有fx1fx2成立。任取x1,x2a,b，且x1x2时，都有fx1fx2成立。任取x1,x2a,b，且x1x2时，都有x1x2fx1fx20成立。任取x1,x2a,b，且x1x2时，都有fx1fx2x1x20成立。7.单调区间的端点问题：由于讨论在某一点处的单调性也没有意义，所以书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定（可开可闭）。习惯上，定义域中含有端点时写成闭区间（也可写成开区间），但定义域中不含端点时，只能写成开区间。如（1）：yx2的递增区间可以写成0,，也可以写成0,，但是，一般都写成0,。y（2）1的递减区间，因为定义域中不含0，所以只能写成,0,0,。x【注】单调区间之间一般都不能“并”，要用逗号或“和”字隔开。8.函数最值定义（1）一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：xI，都有fxM；x0I，使得fx0M。就称M是函数yfx的最大值。（2）一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：xI，都有fxM；x0I，使得fx0M。就称M是函数yfx的最小值。59.函数的最值指的是函数值（y值）的最大值和最小值。求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。10.从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。11.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。12.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。13.分段函数求最值：分段函数的最大值，是各段函数最大值中的最大值；分段函数的最小值，是各段函数最小值中的最小值。14.函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法、抽象函数中的解方程法。15.恒成立问题假设gx为已知函数，求fa的取值范围，则有以下两种情况：（1）fagx恒成立fagxmin；（2）fagx恒成立fagxmax。16.解的存在问题假设gx为已知函数，求fa的取值范围，则有以下两种情况：（1）fagx有解fagxmax；（2）fagx有解fagxmin。17.易错易混知识点：函数的单调区间和函数在某区间单调。函数的单调区间，指的是函数的单调增（或单调减的）最大区间。函数在某区间上单调的区间，既可以是最大的单调区间也可以是最大单调区间的子区间。如：yx2（xR），既可以说在0,10上单调增，也可以说在0,（或0,）上单调增；但yx2（xR）的单调递增区间只能是0,（或。0,）3.2.2奇偶性1.定义（1）奇函数：一般地，设函数fx的定义域为I，如果xI，都有xI，且fxfx，那么函数fx就叫做奇函数。【注】fxfxfxfx0fxfx1（fx0）。6（2）偶函数：一般地，设函数fx的定义域为I，如果xI，都有xI，且fxfx，那么函数fx就叫做偶函数。【注】