等差数列的前n项和性质+练习

1、等差数列{an}前n项和公式：Sn=a1ann(n1)n(n1)n=a1nd=nand。2222等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A＝，B＝a1－，则＝An+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。2、等差数列{an}前n项和的性质2性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为nd性质2:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=nd,性质3:(2)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=an,s奇s偶nn-1性质4:数列{sn}为等差数列nanS2n1bnT2n1性质5:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{an}中，已知S848,S12168，求a1,和d已知a610,S55，求a8和S8训练：1、在等差数列{an}中，已知a1030,a2050.（1）求通项公式{an}；（2）若Sn242，求n.2.在等差数列an中,Sn为数列an的前n项和，已知S77,S1575，Tn为数列{3、已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于。4.已知是等差数列，且满足，则等于________。在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．5、已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．热点考向2：求等差数列前n项和最值例2、1已知：等差数列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．2、在等差数列{an}的前n项和为Sn.（1）若a120，并且S10S15，求当n取何值时，Sn最大，并求出最大值；（2）若a10，S9S12，则该数列前多少项的和最小？训练：1、已知：（）（1）问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a312,S120,S130.（I）求公差d的取值范围；（II）指出Sn}的前n项和，求TnnS1,S2,S3,,S12中哪一个最大，并说明理由。3、在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．热点考向3：求等差数列各项的绝对值之和.例3、已知一个等差数列的通项公式an=25－5n，求数列的前n项和；训练：1、已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．2.已知数列an的前n项和Sn12nn2，求数列{an}的前n项和Tn。热点考向4：.等差数列{an}前n项和的性质的应用例4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()1.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()2.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且Sn2n7aa，则10n为整数的n值有个Tnn3b10bn训练：1、已知等差数列an}的前10项之和为140，其中奇数项之和为125，则a6=。2.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。3、已知一个等差数列的总项数为奇数，且奇数项之和为77，偶数项之和为66，则中间项=总项数为。24.等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am=0,S2m-1=38,则m=.热点考向5：知识的融合与等差数列的综合应用例4.已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点列(n，3Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求anan＋1使得Tn对所有n∈N都成立的最小正整数m.202、项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程的根。（）训练：1、设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列S是公差为d的等差数列。nm*2、求数列an的通项公式（用n,d表示）；（2）设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k，不等式SmSncSk都成立。求证：c的最大值为6：练习部分1．等差数列{an}前n项的和为Sn，且S33，S67，则S9的值是（）A．12B．15C．11D．82、等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若=；3．在等差数列{an}中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8=(A．45B．75C．180D．3204．在等差数列{an}中，（1）若a1120，则S21=________；（2）若a4a7a10a1320，则S16________。5．在等差数列{an}中，前n项和为Sn，若S31，a7a8a95，则S99=________。6．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()(A)14(B)21(C)28(D)357．在等差数列{an}中，a10，Sn为前n项和，且S3S16，则Sn取得最小值时n的值为（）。A．9B．10C．9或10D．10或118．在等差数列{an}中，SmSn(mn)，则a1amn等于（）A．mnB．(mn)C．0D．(mn1)9。21*（n2,nN）,a21,Sn是an的前n项和，则S21=.210.等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（）A．1BC.2D311.设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）A．13B．35C．49D．6312.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2a6a10为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）9.数列an满足anan1A.S6B.S11C.S12D.S1313.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，其偶数项之和为30，则其公差为（）A5B4C3D214.在等差数列{an}中，2(a1＋a4＋a7)＋3(a9＋a11)＝24，则此数列的前13项之和等于()(A)13(B)26(C)52(D)156n－1(n为奇数)15.已知数列an＝n(n为偶数)，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝()(A)4800(B)4900(C)5000(D)510016.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0；Sn是数列{an}的前n项和，则(A)S5S6(B)S5S6(C)S6＝0(D)S5＝S617.在递减等差数列{an}中，若a1＋a100＝0，则其前n项和Sn取最大值时的n值为()(A)49(B)51(C)48(D)501.设等差数列的前项和为，若则.2.等差数列的前项和为，且则3.已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是.设等差数列的前项和为，若,则=。4、若{an}，{bn}是等差数列，且满足aa1a2a3Lan7n2，则5=b5b1b2b3Lbnn35．设等差数列共有10项，其中奇数项之和为，偶数项之和为15，则其首项a1=_______，公差d=________；在项数为2n1(nN)的等差数列中，它的奇数项之和与偶数项之和的比=_______。6．已知等差数列1，4，7，10，…，试求x的值，使x分别满足1）1+4+7+…+x=477，x=_________；（2）(x+1)+(x+4)+(x+7)+…+(x+298)=15950，x=_________；（3）x·x4·x7·x10·x13=x105，x=______。S41S87已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝.S83S168.各项均不为零的等差数列{an}中，若an－an－1－an＋1＝0(n∈N，n≥2)，则S2012等于.1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm1，S3m4，试求S6m的值。2．等差数列{an}的公差为1，a1a2a3a99102，试求a3a6a99的值。3.设两个数列{an},{bn}满足bn=a12a23a3nan，若{bn}为等差数列，求证：{an}也为等差数列.123n2*4.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列5.等差数列{an}中，a1＜0,S9=S12,该数列前多少项的和最小？Sn的前n项和,求Tn.n6.已知数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.7．若等差数列{an}的前m项、前n项的和分别为Sm和Sn，且Sm：Sn=m2：n2（mn），求证an：am(2n1)：(2m1)。8．在等差数列{an}中，公差为d，a484，前n项和为Sn，且S100，S110。（1）求d的取值范围；（2）求使得an0的最小自然数的值；（3）设在集合{S1，S2，S3，…，Sn}中，元素的最大值为M，试求M的取值范围。