空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得OPOAta，其中向量a叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l⊥平面，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量．由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定．(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l，m的方向向量分别是a，b，平面，的法向量分别是u，v，则①l∥ma∥ba＝kb，k∈R；②l⊥ma⊥ba·b＝0；③l∥a⊥ua·u＝0；④l⊥a∥ua＝ku，k∈R；⑤∥u∥vu＝kv，k∈R；⑥⊥u⊥vu·v＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为，显然(0,],则π2|cosv1,v2||v1v2||v1||v2|②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面的射影所成的角．设直线a的方向向量是u，平面的法向量是v，直线a与平面的夹角为，显然[0,]，则|cosu,v|π2|uv||u||v|③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作－l－在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角－l－的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB，CD分别是二面角－l－的两个面与棱l垂直的异面直线，则二面角－l－的大小就是向量AB与CD的夹角的大小．方法二：如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【例题分析】例1如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且B1S＝2SB，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得PQkRS.解：如图建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)．∵AP＝2PA1，∴AP∴P(3,0,)同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0,4,)224AA(0,0,2)(0,0,),133343232PQ(3,2,)RS,3PQ//RS，又RPQ，∴PQ∥RS．【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR，QS，证明PQRS是平行四边形即可，请完成这个证明．例2已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)．取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)．MN＝(2，2，0)，EF＝(2，2，0)，AK＝(－1，1，4)，OG＝(－1，1，4)，∴MN∥EF，AKOG，∴MN//EF，AK//OG，∴MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，∴平面AMN∥平面EFBD．解法二：设平面AMN的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是b＝(b1，b2，b3)．由aAM0,aAN0,2a14a30,得取a3＝1，得a＝(2，－2，1)．2a4a0,32由bDE0,bBF0,得2b24b30,取b3＝1，得b＝(2，－2，1)．2b4b0,13∵a∥b，∴平面AMN∥平面EFBD．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)．AM(0,1,2),CN(2,0,1),设AM和CN所成的角为，则cos2,|AM||CN|525AMCN∴异面直线AM和CN所成角的余弦值是解法二：取AB的中点P，CC1的中点Q，连接B1P，B1Q，PQ，PC．易证明：B1P∥MA，B1Q∥NC，∴∠PB1Q是异面直线AM和CN所成的角．设正方体的棱长为2，易知B1PB1Q5,PQPC2QC26,B1P2B1Q2PQ22∴cosPB1Q,2B1PB1Q5∴异面直线AM和CN所成角的余弦值是25【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0,0,2a),C1(3aaa,,2a)取A1B1的中点D，则D(0,,2a)，连接AD，C1D．2223a,0,0),AB(0,a,0),AA1(0,0,2a),2则DC(DC1AB0,DC1AA10,∴DC1⊥平面ABB1A1，∴∠C1AD是直线AC1与平面ABB1A1所或的角．AC1(3aaa,,2a),AD(0,,2a),222cosC1ADAC1AD|AC1||AD|3，2∴直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小是30°．C1(解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，2a)，3aa,,2a)223aa,,2a)，22从而AB(0,a,0),AA1(0,0,2a),AC1(设平面ABB1A1的法向量是a＝(p，q，r)，由aAB0,aAA10,aq0,得取p＝1，得a＝(1，0，0)．2ar0,设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为,[0,],π2sin|cosAC1,a|1,30.|AC1||a|2|AC1a|【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC－PB－C的平面角的余弦值．2，求二面角A解法二图解法一：取PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．∵PA＝AC＝1，PA⊥AC，∴PC＝BC＝2，∴CD⊥PB．∵EA⊥PB，∴向量EA和DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．如图建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，P(1，0，1)，由D是PB的中点，得D(,121,)222323PEAP21E(,,),由得E是PD的中点，从而444EBAB23123121,),DC(,,)EA(,424422cosEA,DCEADC|EA||DC|3333即二面角A－PB－C的平面角的余弦值是解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2,1,0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，AP(0,0,1),AB(2,1,0),CB(2,0,0),CP(0,1,1).设平面PAB的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面PBC的法向量是b＝(b1，b2，b3)．由aAP0,aAB0,a30,得取a1＝1，得a(1,2,0).2a1a20,2b10,由bCB0,bCP0得取b3＝1，得b＝(0，1，1)．b2b30,cosa,bab33|a||b|33|33∵二面角A－PB－C为锐二面角，∴二面角A－PB－C的平面角的余弦值是|【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题：1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，则二面角E－A1D1－D的平面角的正切值是()(A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与平面A1ACC1所成角的大小是()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()(A)13(B)23(C)33(D)234．如图，⊥，∩＝l，A∈，B∈，A，B到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，AB在，的射影分别是m和n，若a＞b，则下列结论正确的是()(A)＞，m＞n(C)＜，m＜n(B)＞，m＜n(D)＜，m＞n二、填空题：5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成角的大小是______．6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为3，则该正四棱柱的体积3等于______．7．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为______．4题图7题图9题图8．四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，ABBC1PA⊥底面ABCD，AD，2PD与底面ABCD所成的角是30°．设AE与CD所成的角为，则cos＝______．三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且C1E＝3EC．(Ⅰ)证明：A1C⊥平面BED；(Ⅱ)求二面角A1－DE－B平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABCOA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．π，OA⊥底面ABCD，4(Ⅰ)证明：直线MN∥平面OCD；(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小．11．如图，已知直二面角－PQ－，A∈PQ，B∈，C∈，CA＝CB，∠BAP＝45°，直线CA和平面所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC⊥PQ；(Ⅱ)求二面角B－AC－P平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B2．A3．B4．D二、填空题：5．60°6．27．三、解答题：428．459题图10题图1